图形学中透视投影矩阵推导

透视投影矩阵是图形学一道重要的坎，他是将世界空间转到屏幕空间，再将屏幕放进裁剪空间ndc映射

我们从侧视图看

我们的已知条件

1.aspect：屏幕宽高比

2.n：近截面z轴坐标
3.f ：远截面z轴坐标

4.fov角度

我们可以求出t的长度

t=n*tan(fov/2)

b = -t

k = r + l / 2t （k是宽高比系数）

2t * k = 2l

t * k = l

r = -l

图中投影的点可以看成相似三角形

X1 / X = Y1 / Y = Z 1 /Z

因为 Z1 是-N

因为用的是opengl的右手坐标系（实际上OpenGL并不是分左手右手，右手使我们成俗的习惯）

Z1 = -N

X1 / X = -N / Z

X1 = N * X / -Z

Y1 = N * Y /- Z

我们最终要得到归一化的齐次坐标

X / W , Y / W

W = - Z1

X1 = N * X

Y1 = N * Y

因为投影矩阵最终的都是在做线性变换，所以它满足 y = kx + b

k = 2 / r - l

我们求b ，也就是ndc上的x

x = r

y = 1 代入

1 = 2 / r - l * r + b

b = 2 / r - l - 1

b =（2 / r - l ） - ( r - l / r- l)

b = r + l / r - l

ndc中y也同理

b = t + b / t - b

我们用推导构建了透视矩阵的x y

Xndc = 2 / r - l * X

X 为 N * X

2n / r - l

构建矩阵

2n/r-l 0 r+l/r-l 0

0 2n/t -b t+b/t-b 0

？？？？

0 0 -1 0

按道理来说Z轴是完全可以舍弃的，因为我们已经得到了投影了

实际上opengl会把Z轴n 与 f做深度映射到-1 - 1区间做近大远小效果

Z我们可以理解为摄像机与物体距离，W理解为缩放

矩阵中x y没有作用我们把它给 0

2n/r-l 0 r+l/r-l 0

0 2n/t -b t+b/t-b 0

0 0 Z W

0 0 -1 0

Zndc = -1 z = n

-1 = Z * n + w / Z

- n = Z * n + w

Zndc = 1 z = f

1 = Z * f + w / Z

f = Z * f + w

解二元一次方程得

- f+n/f-n

-2fn/f-n

我们得到了透视投影矩阵的终极级形态

2n/r-l 0 r+l/r-l 0

0 2n/t -b t+b/t-b 0

0 0 - f+n/f-n -2fn/f-n

0 0 -1 0

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