20克拉默法则、逆矩阵、体积

本节是关于行列式的最后一课，主要包括按各方面：求逆矩阵、克莱姆法则和体积

求逆矩阵 A-1

早在之前，就已经了解过求解逆矩阵的方法：高斯-若尔当求逆法。高斯-若尔当求逆法对于数值计算无懈可击，但很难想象这是如何做到的，也许我们需要一个更直观的逆矩阵的代数表达式，这就用到了行列式的知识。

首先关注公式的分母，其为行列式的值，也许一般逆矩阵公式其中一部分正是1除以矩阵的行列式，这
一部分是合理的，因为只有当行列式的值不等于0时，矩阵才是可逆的。

实际上，公式右边这一块矩阵就是由代数余子式组成的，为代数余子式矩阵C的转置，我们一般称其为伴随矩阵，记为 CT。

假设一般地，矩阵的逆矩阵公式为：

不会没看懂所以直接上图：

克莱姆法则

现在有了逆矩阵的计算公式，所以对Ax = b 现在有：

更进一步地，考虑x的分量xi：

其中矩阵Bi是向量b替代矩阵A的第i列所得到的新矩阵，这也即克莱姆法则。

行列式的几何意义 – 体积

3阶矩阵A的行列式的绝对值|det (A)| 等于以矩阵A行（列）向量为边所构成的平行六面体的体积。行列式的符号正负对应左手系和右手系。

先给出命题：对于3 X 3矩阵，其行列式的绝对值等于一个箱子的体积。

对于三阶单位矩阵I，其体积为det(I) = 1，此时这个箱子是一个单位立方体。这其实也印证了前面
学过的行列式性质1。

基于这一点，于是想：如果能够继续证明箱子体积具有行列式的三大基础性质，而三大基础性质定
义了行列式，那么箱子体积就一定等于行列式。这是一个非常巧妙的间接证明的方法。
接下来接着看体积是否具有行列式的性质2和3。
首先对于行列式性质2，交换两行并不会改变箱子的大小，同时行列式的绝对值也没有改变，性质2
得证。
在验证性质3之前，先再取正交矩阵Q为例来研究其体积与其行列式的关系。
显然3阶正交矩阵实际上所形成的箱子也是一个单位立方体，只不过略有旋转。既然如此，那么箱子的
体积显然是1。那么3阶正交矩阵是否其行列式的绝对值也为1呢？

与体积相等，符合命题。