在这里，我们已有了均值－方差前沿：

其中

是风险资产的协方差矩阵，

但其实在本文中，均值－方差前沿的具体数学形式并不重要，以上内容可以忽略。

我们现在可画出均值－方差前沿的图像，这是一双曲线的右支，图中也已标出最小方差组合

，根据在给定风险(标准差)下选择最大期望收益率的原则，

点上方的曲线我们称为有效边界。均值－方差前沿

注意，在推导有效边界的过程中，我们假设这些组合全由风险资产构成。现在我们引入无风险资产，它显然应该落在纵轴上。

现在我们可以把一定量的资本在某一特定的风险资产组合与无风险资产之间分配，由于无风险资产与风险组合的协方差为零，易得期望收益率和标准差分别以风险资产分配比例为权满足线性关系，故在图上体现为从纵轴上的无风险资产点出发，经过有效边界上一点的射线。

我们把这样的线，称为资本配置线(CAL, Capital Allocation Line)，线上的每一点表示一个风险资产与无风险资产组成的投资组合。由于有效边界上有无数个风险资产(组合)，故我们能找到无数条 CAL。

下图中标出了两条 CAL ，一条经过最小方差组合，一条是有效边界的切线。CALs

我们可以计算出一条 CAL 的斜率，设经过风险资产

的 CAL 的斜率为

，有

在金融学中，我们把这一比率称为报酬－波动性比率(reward-to-variability ratio)，又称夏普比率(Sharpe Ratio)。容易发现，夏普比率刻画了投资组合每承受一单位总风险，会产生多少超额报酬。也就是说，可以认为，夏普比率越高的投资组合越佳

我们自然想到要找到 CAL 中最大的夏普比率，也就是

不难发现，这样的资产组合正是一条与有效前沿相切的 CAL，在上图中，就是过 M 点的那条。在资本资产定价模型(CAPM, Capital Asset Pricing Model)中，我们考察所有投资者共享同样的可投资集的情况，那么每一投资者都有相同的有效边界与无风险利率，这意味着他们通过最优化夏普利率都会持有相同的风险资产组合

。那么对于整个市场，市场组合是所有风险资产组合的加总，故这一相同的风险资产组合

就是市场组合。这样一条特殊的 CAL，就称为资本市场线(CML, Capital Market Line)。CML

现在我们考察可行投资集中的单个资产

，不妨假设我们以权重

持有

与市场组合

的组合。显然，这样的组合不好于均值－方差前沿，在图中可表示如下：iM 处于均值－方差前沿以内

在 M 点处，也就是

处，显然有 iM 曲线与均值－方差前沿相切。

关于

与

的组合，有

由 M 点相切的条件有

解得等式

整理得

这条线，就是证券市场线(SML, Securities Market Line)。SML

接下来我们考察 SML 的意义。

为了方便，我们把风险溢价记为大写字母，也就是

。现在有

其中

其中资产

对市场组合风险溢价的方差的贡献为：

即有

对市场组合风险溢价的贡献比上

对市场组合风险溢价的方差的贡献为：

此时对 SML 进行变形，将

化为

又整理得到

上式右端是市场组合的期望风险溢价与方差的比，这个以方差度量的报酬风险比率我们可称为风险的市场价格(market price of risk)。即

对市场组合风险溢价的贡献比上

对市场组合风险溢价的方差的贡献，等于市场组合的期望风险溢价与方差的比。

这个等式说明了 SML 上的资产在给定的风险下，相对于整个市场，有合理的期望收益率。在这种均衡的状态下，此资产的价格不面临调整的压力，在 CAPM 中，我们说它得到了合理的定价。

实际上，我们在推出 SML 的过程中暗含了 处于市场组合之中这一条件，由于假设投资者理性，那么一个可以留在市场组合里的资产必然已在市场中得到充分调整、合理定价。所以 SML 能够给出一个估值，我们说在 SML 上方的资产被低估，在其下方的被高估。

再来关注 SML 的形式：

这给出了期望收益－贝塔关系(expected return-beta relationship)，是 CAPM 的一种普遍表达形式；实际指出了，资产

的期望回报应等于无风险利率加上以

度量的风险补偿。期望收益－贝塔关系

由于有

，上式也可化为(特雷诺测度)：

这说明 SML 上，以

度量的报酬风险比率相同。

由

，可以看到 描述的是资产(或组合)相对总体市场的波动性，也就是说，它只关注该资产的系统性风险。联系期望收益－贝塔关系，会发现，市场只给予系统性风险(systematic risk)以补偿，而不补偿特质风险(idiosyncratic risk)，因为它可以通过分散化投资得到消除。

2019.3

参考