初等数学复习之配方法(及待定系数法)

再复习一下吧，初中的东西，对于解高数有用。

什么是配方法呢？
由例子引出：求x²-6x-7=0中x的值。

将方程式化成一般形式：x²-6x=7
将二次项的系数变为1,这里的二次项系数本来就是1，这步可省
方程两边同时加上一次项系数的一半.x²-2x3+3²=7+3²
左边化成完全平方的形式，右面化成一个常数。(x-3)²=16
开平方求解即得。
看了配方法的步骤，绝对是似普相识。思路就是转变成完全平方的形式。

相关知识点：

基本初等函数的恒等变形公式：

( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} (a+b)(a−b)=a2−b2
( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (a \pm b)^{2}=a^{2}\pm2 a b+b^{2} (a±b)2=a2±2ab+b2
( a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 a b 2 ± b 3 (a \pm b)^{3}=a^{3} \pm 3 a^{2} b+3 a b^{2} \pm b^{3} (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 3 + b 3 (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3} (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a 3 − b 3 (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3} (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,主要应用于十字相乘法分解因式，这部分详见《2020-1-9初等数学复习之一元二次方程的解法》。

分式的变形：将一个分式化为几个真分式之和（待定系数法）

什么是待定系数法呢？还是由例子引出：
1 ( 3 x + 2 ) ( x − 2 ) = A 3 x + 2 + B x − 2 \frac{1}{(3 x+2)(x-2)}=\frac{A}{3 x+2}+\frac{B}{x-2} (3x+2)(x−2)1=3x+2A+x−2B,求A=?B=？，这种形式就是待定系数法。

先设出函数的解析式：如上式表达式
根据条件确定解析式中的未知数： 1 ( 3 x + 2 ) ( x − 2 ) = A 3 x + 2 + B x − 2 = A ( x − 2 ) + B ( 3 x + 2 ) ( 3 x + 2 ) ( x − 2 ) \frac{1}{(3 x+2)(x-2)}=\frac{A}{3 x+2}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(3 x+2)}{(3 x+2)(x-2)} (3x+2)(x−2)1=3x+2A+x−2B=(3x+2)(x−2)A(x−2)+B(3x+2)，由于分母相同，所以分子 ( A + 3 B ) x + ( − 2 A + 2 B ) = 1 (A+3 B) x+(-2 A+2 B)=1 (A+3B)x+(−2A+2B)=1，右边一次项式为0，建立方程组： { A + 3 B = 0 ⋯ ⋯ ( 1 ) − 2 A + 2 B = 1 ⋯ ⋯ ( 2 ) \left\{\begin{array}{l}A+3 B=0 \cdots \cdots(1) \\ -2 A+2 B=1 \cdots \cdots(2)\end{array}\right. {A+3B=0⋯⋯(1)−2A+2B=1⋯⋯(2)
根据方程组就可求得未知数。A=1/8,B=-3/8.

待定系数法其实是一种思想:先预设存在这样的系数使得等式成立，然后建立方程求解是一个验证的过程.在多项式中也有应用，详见《初等数学复习之方程和方程组（多项式的待定系数法）》后面的规律：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)
如：X³-4x²+2x+1 各项系数为1-4+2+1=0，则分解式中必含（x-1）那么分解式可以写成(x-1)(x²+ax+b)的形式;展开解析式X³-4x²+2x+1=x³+(a-1)x²+(b-a)x-b，得到a-1=-4,b-a=2,b=-1,求得a=-3，b=-1

如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）
如：X³+2x²+5x+4,奇次项1+5，偶次项2+4
X³+2x²+5x+4=(x+1)(x²+ax+b)=X³+(a+1)x²+(a+b)x+b
a+1=2,a+b=5,解得，a=1,b=4

根式的变形：对于含有根式的分式，将其分子或分母有理化,去掉根号

根据恒等变形公式，可以推导出有理化公式：
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b (a+b )(a−b )=a2−b
( a + b ) ( a − b ) = a − b (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b (a +b )(a −b )=a−b
( a 3 + b 3 ) ( a 2 3 − a b 3 + b 2 3 ) = a + b (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})\left(\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)=a+b (3a +3b )(3a2 −3ab +3b2 )=a+b
( a 3 − b 3 ) ( a 2 3 + a b 3 + b 2 3 ) = a − b (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)=a-b (3a −3b )(3a2 +3ab +3b2 )=a−b