FDS中稳定性条件和分析

标签：数值稳定性，FDS, Pyrosim

前言

用差分格式求解初值问题的数值解时，截断误差并非是误差的唯一来源，每一步的计算都会引入舍入误差，在做逐时间层的计算时，这种误差还会逐层传播积累。如果误差在传播过程中变得越来越大，以致于淹没真解，格式就是不稳定的。而一个稳定的格式，其误差应该是保持一个有界的范围。如果学习过计算流体的话，我们都会通过误差的傅里叶分析方法和Hirt启示性方法等方法分析数值的稳定性。我们此次主要从物理的角度来分析不稳定性条件。在FDS中，时间格式上采用显示格式，因此需要通过调整时间步长来满足稳定性条件，接下来就分别看看是如何做的。

从物理上理解数值不稳定性

CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)不稳定定性约束
直接上表达式：
CFL≡δt∥U∥δX≤1CFL\equiv\delta t\frac{\|U\|}{\delta X}\leq1CFL≡δtδX∥U∥≤1,其中∥U∥\|U\|∥U∥表示的是速度的范数，而δ\deltaδ t表示的是时间步长，δX\delta XδX表示的是空间步长。
一眼看上去，不知所云，但是我们稍微调整一下就得到：
δt∥U∥≤δX\delta t\|U\|\leq \delta Xδt∥U∥≤δX
这不就是速度乘以时间小于距离么？那这个物理意义是什么呢？

意思就是在一个时间步长内，单元格上的速度产生的位移要小于网格的大小，也就是说我们的流体流动误差不能被单个控制体捕捉控制，这样数值不稳定性就可能发生了。
另外，在FDS中，∥U∥\|U\|∥U∥采取三种范数，分别是L1L_1L1、L2L_2L2、L∞L_\inftyL∞范数，即：

L∞L_\inftyL∞范数: ∥U∥δX=max(uδx,vδy,wδz)\frac{\|U\|}{\delta X}=max(\frac{u}{\delta x},\frac{v}{\delta y},\frac{w}{\delta z})δX∥U∥=max(δxu,δyv,δzw) 在VLES算法中默认设置。

L1L_1L1范数: ∥U∥δX=∣u∣δx+∣v∣δy+∣w∣δz\frac{\|U\|}{\delta X}=\frac{|u|}{\delta x}+\frac{|v|}{\delta y}+\frac{|w|}{\delta z}δX∥U∥=δx∣u∣+δy∣v∣+δz∣w∣ 在DNS和LES算法中默认设置。

L2L_2L2范数: ∥U∥δX=(uδx)2+(vδy)2+(wδz)2\frac{\|U\|}{\delta X}=\sqrt{(\frac{u}{\delta x})^2+(\frac{v}{\delta y})^2+(\frac{w}{\delta z})^2}δX∥U∥=(δxu)2+(δyv)2+(δzw)2
除了默认的设置外，针对不同的问题，我们也可以主动设置不同的形式。例如，在VLES的算法下，强制使用L1L_1L1范数，那么在MISC中强制添加如下语句即可：

&MISC CFL_VELOCITY_NORM=1

VN(Von Neumann Constraint)约束
直接上表达式：
VN≡δtmax⁡[ν,Dα]∑1δxi2<12VN\equiv\delta t \max[\nu,D_\alpha]\sum\frac{1}{\delta x_i^2}<\frac{1}{2}VN≡δtmax[ν,Dα]∑δxi21<21,其中ν\nuν代表粘性系数，DαD_\alphaDα代表扩散系数。有了前面的经验之后，我们一眼就能看出其物理含义了：在单个时间步长内，扩散或者耗散的速率必须小于半个网格（如下图所示）。

在计算时，我们可以设置VN的取值范围（LES默认是0.8到1），但是不要太大，防止数值不稳定发生。设置方法如下：

&MISC VN_MIN=0.7，VN_MAX=0.9/这意味着我们把VN约束进一步加强到0.7-0.8的范围内

传热约束
先看表达式：
δt<(δx/2)(q˙c"/ρw)1/3\delta t<\frac{(\delta x/2)}{(\dot q_c^"/\rho_w)^{1/3}}δt<(q˙c"/ρw)1/3(δx/2)。这里q˙c"\dot q_c^"q˙c"表示热流，单位是W/m2W/m^2W/m2,ρw\rho_wρw代表墙壁处气相的密度。通过表达式，我们很明显看到式子右边的分母项乘以δt\delta tδt要小于12\frac{1}{2}21倍的网格尺度的大小。那么这个分母项代表什么呢？我们通过量纲上看是速度的量纲m/sm/sm/s，在看下物理意义，可以联想理解到：热量在单位质量中的传播速度。那么这就意味着热流的传播速度要小于半个网格。

OK，FDS中的三种防止数值不稳定性发生的方法就是上述的方法了，当发生不稳定性问题的时候我们就要分析到底是哪里出现问题了。FDS中的思路就是通过自动调节时间步长的方法，使得同时满足三个约束条件，这样就能在满足数值稳定的同时，把时间步长拉的足够长来加速我们的仿真时间。因此当发生数值不稳定的时候，我们就要思考：我们的时间步长满足三个约束条件么？我们的网格是不是过于细了导致时间步长不够短？…………

今天就分享到这里了，如有错误欢迎指出和交流讨论。本人研究兴趣：巷道火灾，高性能计算，机器学习。如有合作欢迎联系。如果你需要寻求合作者可以私信给我。

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