[MR]曲柄滑块机械臂奇点 Crank-slider mechanism Singularities

RRRP 曲柄滑块机械臂如下图所示，求运动学奇点

求解过程：

第三个旋转关节的坐标如下：

P=Rcos(θ)+lcos(ϕ)P = R cos(\theta) + l cos(\phi)P=Rcos(θ)+lcos(ϕ)

同时为了滑块只能水平滑动，应添加一个约束：

Rsin(θ)=lsin(ϕ)R sin(\theta) = l sin(\phi)Rsin(θ)=lsin(ϕ)

因此我们可以得到如下函数：

f={Rcos⁡(θ)+lcos⁡(ϕ)−P=0Rsin⁡(θ)−lsin⁡(ϕ)=0f = \begin{cases} R \cos(\theta) + l \cos(\phi)-P = 0 \\ R \sin(\theta) - l \sin(\phi) = 0 \end{cases} f={Rcos(θ)+lcos(ϕ)−P=0Rsin(θ)−lsin(ϕ)=0

然后根据下式

UX˙+Vθ˙=0U \dot{X}+V \dot{\theta} = 0UX˙+Vθ˙=0

让函数 f 对时间求导（θ和ϕ\theta 和 \phiθ和ϕ都是关于时间 t 的函数）得：

dfdt=[−Rsin⁡(θ)Rcos⁡(θ)]θ˙+[−lsin⁡(ϕ)−1−lcos⁡(θ)0][ϕ˙P˙]=0\frac{d f}{d t} = \begin{bmatrix} -R \sin (\theta) \\ R \cos (\theta) \end{bmatrix} \dot{\theta}+ \begin{bmatrix} -l \sin (\phi) & -1 \\ -l \cos (\theta) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{P} \end{bmatrix} = 0 dtdf=[−Rsin(θ)Rcos(θ)]θ˙+[−lsin(ϕ)−lcos(θ)−10][ϕ˙P˙]=0

然后对 UTU_{T}UT 求 det 得：

det(UT)=−lcos⁡ϕ=0det(U^{T}) = -l \cos \phi = 0det(UT)=−lcosϕ=0

则奇点为：

ϕ=±π2\phi = \pm \frac{\pi}{2}ϕ=±2π

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