「Codechef FN」Fibonacci Number

传送门

problem

设 FiF_iFi 表示斐波那契数列：

{Fn=n,n≤1Fn=Fn−1+Fn−2,otherwise\begin{cases} F_n=n ,&n ≤ 1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, &\mathrm{otherwise} \end{cases}{Fn=n,Fn=Fn−1+Fn−2,n≤1otherwise

给定 ccc 和 ppp，求满足 Fn≡c(modp)F_n\equiv c\pmod pFn≡c(modp) 的最小的 nnn。

保证 11≤p≤2×10911\le p\le2\times10^911≤p≤2×109，ppp 是素数，且 pmod10p\bmod 10pmod10 是一个完全平方数。

solution

首先，斐波那契数列是有通项公式的：

Fn=15((1+52)n−(1−52)n)F_n=\frac1{\sqrt 5}\left((\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)Fn=51((21+5)n−(21−5)n)

那么设 φ=1+52\varphi=\frac{1+\sqrt 5}2φ=21+5，那么 −1φ=1−52-\frac 1\varphi=\frac{1-\sqrt5}{2}−φ1=21−5，那么相当于是解：

15(φn−(−1φ)n)≡c(modp)φn−(−1)nφn≡5c(modp)\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt 5}(\varphi^n-(-\frac 1 \varphi)^n)&\equiv c\pmod p \\\varphi^n-\frac{(-1)^n}{\varphi^n}&\equiv \sqrt5c\pmod p \end{aligned}51(φn−(−φ1)n)φn−φn(−1)n≡c(modp)≡5c(modp)

又令 ϕ=φn\phi=\varphi^nϕ=φn，继续化简，有：

ϕ−(−1)nϕ≡5c(modp)\phi-\frac{(-1)^n}{\phi}\equiv \sqrt5c\pmod pϕ−ϕ(−1)n≡5c(modp)

然后用个求根公式就可以解出 ϕ\phiϕ：

ϕ≡5c±5c2+4(−1)n2(modp)\phi\equiv\frac{\sqrt 5c\pm\sqrt{5c^2+4(-1)^n}}{2} \pmod pϕ≡25c±5c2+4(−1)n(modp)

那么用二次剩余就可以解 ϕ\phiϕ 了，又由于 ϕ=φn\phi=\varphi^nϕ=φn，再套个 BSGS 解 nnn 即可。注意解得时候要特判 nnn 的奇偶性来解。

然后 555 是模 ppp 意义下的二次剩余，直接解就可以了。

由于 ppp 是素数，且 pmod10p \bmod 10pmod10 是完全平方数，所以 p=±1(mod5)p=\pm1\pmod 5p=±1(mod5)，那么 p5−12=1p^{\frac{5-1}2}=1p25−1=1，即 ppp 是模 555 意义下的二次剩余。
根据二次互反律，设 p,qp,qp,q 是不同的奇素数，有：

(pq)(qp)=(−1)p−12q−12\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}(qp)(pq)=(−1)2p−12q−1

其中 (pq)\left(\frac pq\right)(qp) 是勒让德符号。
那么把 555 和 ppp 代进上式，就不难发现 555 是模 ppp 意义下的二次剩余。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,C,P,s5,U,V;
int add(int x,int y)  {return (ll)x+y>=P?(ll)x+y-P:x+y;}
int dec(int x,int y)  {return (ll)x-y< 0?(ll)x-y+P:x-y;}
int mul(int x,int y)  {return (ll)x*y>=P?(ll)x*y%P:x*y;}
int power(int a,int b){int ans=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))  if(b&1)  ans=mul(ans,a);return ans;
}
int Inv(int x)  {return power(x,P-2);}
void Max(int &x,int y)  {if(x<y)x=y;}
void Min(int &x,int y)  {if(x>y)x=y;}
namespace Cipolla{int I,val;struct num{int x,y;num(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}friend num operator*(const num &a,const num &b){return num(add(mul(a.x,b.x),mul(val,mul(a.y,b.y))),add(mul(a.y,b.x),mul(a.x,b.y)));}friend num operator^(num a,int b){num ans(1,0);for(;b;b>>=1,a=a*a)  if(b&1)  ans=ans*a;return ans;}};int Sqrt(int n){if(!n)  return 0;if(power(n,(P-1)>>1)==P-1)  return -1;while(1){I=rand(),val=dec(mul(I,I),n);if(power(val,(P-1)>>1)==P-1)  break;}return (num(I,1)^((P+1)>>1)).x;}
}
using Cipolla::Sqrt;
unordered_map<int,int>Hash;
int BSGS(int a,int b,int type){Hash.clear();int now=b,t=ceil(sqrt(P));for(int i=0;i<t;++i)  Hash[now]=i,now=mul(now,a);now=1,a=power(a,t);if(!a)  return b?P+1:1;for(int i=0,pos;i<=t;++i){pos=(Hash.find(now)==Hash.end())?-1:Hash[now],now=mul(now,a);if(pos>=0&&i*t-pos>=0&&((i*t-pos)&1)==type)  return i*t-pos;}return P+1;
}
int main(){scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&C,&P);s5=Sqrt(5),U=mul(add(1,s5),Inv(2)),V=mul(C,s5);int d1=add(mul(V,V),4),d2=dec(mul(V,V),4),ans=P+1;if(!d1||power(d1,(P-1)>>1)==1){int tmp=Sqrt(d1),val;val=mul(add(V,tmp),Inv(2)),Min(ans,BSGS(U,val,0));val=mul(dec(V,tmp),Inv(2)),Min(ans,BSGS(U,val,0));}if(!d2||power(d2,(P-1)>>1)==1){int tmp=Sqrt(d2),val;val=mul(add(V,tmp),Inv(2)),Min(ans,BSGS(U,val,1));val=mul(dec(V,tmp),Inv(2)),Min(ans,BSGS(U,val,1));}printf("%d\n",ans==P+1?-1:ans);}return 0;
}