文章目录

前言
一、线性规划的来源及内容
- 1.运筹学
- 2.建模步骤
- 3.线性规划
二、Excel求解线性规划的实际案例-广告媒体组合优化问题
- 1.建立数据源
- 2.写出资源配置三要素
- 3. 在excel中设置目标函数
- 4.在excel中设置约束条件
- 5.加载excel的规划求解模块
- 6.在excel规划求解模块中设置决策变量和目标函数
- 7.在excel规划中求解模块中设置约束条件
三、python求解线性规划的实际案例
- 1.最小化问题
- 2.最大化问题

前言

在数学中，线性规划（Linear Programming，简称LP）特指目标函数和约束条件皆为线性的最優化问题。

线性规划是最优化问题中的一个重要领域。在作业研究中所面临的许多实际问题都可以用线性规划来处理，特别是某些特殊情况，例如：网络流、多商品流量等问题，都被认为非常重要

一、线性规划的来源及内容

1.运筹学

运筹学是一种科学的决策方法，它通常是在需要分配稀缺资源的条件下，寻求系统的最佳设计。科学的决策方法需要使用一个或多个数学模型(优化模型)来做出最优决策。

优化模型试图在满足给定约束的决策变量的所有值的集合中，找到优化(最大化或最小化)目标函数的决策变量的值。它的三个主要组成部分是：

目标函数:要优化的函数(最大化或最小化)。
决策变量:影响系统性能的可控变量。
约束:决策变量的一组约束(即线性不等式或等式)。非负性约束限制了决策变量取正值。
优化模型的解称为最优可行解。

2.建模步骤

对运筹学问题进行准确建模是最重要的任务，也是最困难的任务。错误的模型会导致错误的解决方案，从而不能解决原来的问题。团队成员应按照以下步骤进行建模：

问题定义:定义项目的范围，并确定三个要素:决策变量、目标和限制(即约束)。
模型构建:将问题定义转化为数学关系。
模型求解:使用标准优化算法。在获得解后，需要进行灵敏度分析，以找出由于某些参数的变化而导致的解的行为。
模型有效性:检查模型是否按预期工作。
实现:将模型和结果转换为解决方案。

3.线性规划

线性规划(Linear Programming，也称为LP)是一种运筹学技术，当当所有的目标和约束都是线性的(在变量中)并且当所有的决策变量都是连续的时使用。线性规划是最简单的运筹学方法。

二、Excel求解线性规划的实际案例-广告媒体组合优化问题

1.建立数据源

建立如图的excel表格

2.写出资源配置三要素

3. 在excel中设置目标函数

根据前面的分析可知，目标函数为B2：E6与F2：F6区域两列数的乘积之和，在C10单元格输入"=SUMPRODUCT(E2:E6,F2:F6)"
如图:

4.在excel中设置约束条件

将第二步中所写的约束条件表达式设置在excel中

5.加载excel的规划求解模块

选择"文件"——>“选项”——>“加载项”——>“转到”,勾选"规划求解加载项"，点击“确定”，在“数据”菜单中会出现规划求解的模块

6.在excel规划求解模块中设置决策变量和目标函数

选择“数据”——>“规划求解”，进行如下设置

7.在excel规划中求解模块中设置约束条件

在下图设置6个约束条件

约束条件1：电视广告费<=30000元

约束条件2：电视广告次数>=20次

约束条件3：广告费用<=40000元

约束条件4：被告知人数>=100000人

约束条件5：各媒体使用次数不超过次数限量的设置

约束条件6：各媒体使用次数为整正数

完成约束条件设置之后的六个约束条件的设置结果

三、python求解线性规划的实际案例

1.最小化问题

Python的SciPy库包含用于解决线性编程问题的linprog函数。在使用linprog时，编写代码要考虑的两个注意事项：

这个问题必须表述为一个最小化问题。
不等式必须表示为≤。
实验代码：

# Import required libraries
import numpy as np
from scipy .optimize import linprog
# Set the inequality constraints matrix
# Note: the inequality constraints must be in the form of <
A = np.array([[-1, -1, -1], [-1, 2, 0], [0, 0, -1], [-1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, -1]])
# Set the inequality constr aints vector
b = np.array([-1000, 0, -340, 0, 0, 0])
# Set the coefficients of the linear objective function vector
c = np.array([10, 15, 25])
# Solve linear progr amming problem
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)
# Print results
print( "Optimal value:", round(res. fun, ndigits=2),
"\nx values:", res.x,
"\nNumber of iterations performed:", res.nit,
"\nStatus:", res.message)

实验结果：

2.最大化问题

由于Python的SciPy库中的linprog函数是用来解决最小化问题的，因此有必要对原始目标函数进行转换。通过将目标函数的系数乘以-1（即通过改变其符号），可以将最小化问题转化为一个最大化问题。

让我们考虑下面需要解决的最大化问题：

实验代码：

# Import required libraries
import numpy as np
from scipy .optimize import linprog
# Set the inequality constraints matrix
# Note: the inequality constraints must be in the form of <
A = np.array([[-1, -1, -1], [-1, 2, 0], [0, 0, -1], [-1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, -1]])
# Set the inequality constr aints vector
b = np.array([-1000, 0, -340, 0, 0, 0])
# Set the coefficients of the linear objective function vector
c = np.array([10, 15, 25])
# Solve linear progr amming problem
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)
# Print results
print( "Optimal value:", round(res. fun, ndigits=2),
"\n x values:", res.x,
"\n Number of iterations performed:", res.nit,
"\n Status:", res.message)