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math
cmath
statistics
random
fractions
decimal

math

提供了一些基础的计算功能，下列表达式默认from math import *，输入输出均为一个数字。

常见函数
三角函数	`cos`, `sin`, `tan`, `acos`, `asin`, `atan`
	`atan2(x,y)`=arctan⁡yx\arctan\frac{y}{x}arctanxy
双曲函数	`cosh`, `sinh`, `tanh`, `acosh`, `asinh`, `atanh`
幂函数	`exp`, `sqrt`, `expm1(x)`=ex−1e^x-1ex−1, `pow(x,y)`=xyx^yxy
对数函数	`log`, `log10`, `log2`, `log1p(x)`=ln⁡(1+x)\ln(1+x)ln(1+x)
	`log(x)`=ln⁡x\ln xlnx, `log(x,y)`=log⁡yx\log_yxlogyx
取整	向上`ceil`, 向下`floor`，实值向下取整`trunc`
	`isqrt(x)`相当于`floor(sqrt(x))`
角度转换	转角度`degrees`，转弧度`radians`
拆分	`a,b = modf(x)`即x=a.b，`a,b=frexp(x)`即x=a⋅2bx=a\cdot2^bx=a⋅2b
其他函数	阶乘`factorial`，绝对值`fabs`，最小有效比特位的值`ulp`

特殊函数
`erf(x)`	误差函数，2π∫0xe−η2dη\frac{2}{\sqrt\pi}\int^x_0e^{-\eta^2}\text d\etaπ2∫0xe−η2dη
`erfc(x)`	补误差函数，即`1.0-erf(x)`
`gamma(x)`	Γ\GammaΓ函数，∫0+∞tx−1t−tdt(x>0)\int^{+\infty}_0t^{x-1}t^{-t}\text dt(x>0)∫0+∞tx−1t−tdt(x>0)
`lgamma(x)`	Γ\GammaΓ函数，即`log(abs(gamma(x)))`

误差函数和Γ\GammaΓ函数的图像如下

判断函数	`isfinite(x)`	`isinf(x)`	`isnan(x)`
`True`值条件	x为有限值	x为正负无穷	x为nan

常量	π\piπ	eee	τ=2π\tau=2\piτ=2π	inf⁡\infinf	nan
值	3.14…	2.71…	6.28…	正无穷	非数字
代码	`pi`	`e`	`tau`	`inf`	`nan`

输入	输入为任意多个数值的函数
整数	最大公约数`gcd`，最小公倍数`lcm`
数值	精确求和`fsum`，欧几里得范数`hypot`（可理解为均方根）
	连乘`prod`，可选参数`start`表示初始值

其他函数

comb(n,k)=Cnk=n!k!(n−k)!C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk=k!(n−k)!n!，即二项系数
perm(n,k)=n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}(n−k)!n!
copysign(a,b)=∣a∣⋅b∣b∣|a|\cdot\frac{b}{|b|}∣a∣⋅∣b∣b
dist(p,q)=∑i(pi−qi)2\sum_i(p_i-q_i)^2∑i(pi−qi)2
ldexp(x, i)=x⋅2ix\cdot 2^ix⋅2i
求余数：fmod(x,y)，remainder(x, y)
nextafter(x, y)，返回x趋向于y的最接近的浮点数值。

isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

若 a 和 b 的值比较接近则返回True，否则False。
rel_tol 是相对容差，表示a, b之间允许的最大差值。例如，要设置5％的容差，rel_tol=0.05。rel_tol 必须大于0。
abs_tol 是最小绝对容差，其值不小于0。
等价于abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)

cmath

即complex math，复数运算包，和math有很多同名函数，无非是math没法计算复数而已。在python中，创建复数的方法是

x = 1+1j

常见函数
三角和幂函数	`cos`, `sin`, `tan`, `acos`, `asin`, `atan`,`exp`, `sqrt`
双曲和反双曲	`cosh`, `sinh`, `tanh`, `acosh`, `asinh`, `atanh`
对数函数	`log10`, `log(z)`=ln⁡z\ln zlnz, `log(x,y)`=log⁡yx\log_yxlogyx
坐标转化	转为极坐标`polar`，转为直角坐标`rect`
虚数函数	相位`phase`，模数(绝对值)`abs`
判断函数	`isnan`，`isinf`，判断有限值`isfinite`

常量	π\piπ	eee	τ=2π\tau=2\piτ=2π	inf⁡\infinf	iinf⁡\text i\infiinf	nan	nanj
值	3.14…	2.71…	6.28…	正无穷	虚正无穷	非数字	虚非数字
代码	`pi`	`e`	`tau`	`inf`	`infj`	`nan`	`nanj`

在cmath中，也提供了类似math中的isclose

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

若 a 和 b 的值比较接近则返回True，否则False。
rel_tol 是相对容差，为a, b之间允许的最大差值。例如，要设置5％的容差，rel_tol=0.05。rel_tol 必须大于0。
abs_tol 是最小绝对容差，其值不小于0。
等价于abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)

statistics

Python自带的统计学工具，功能很弱，但初学者认识一下也是好的。

下面的函数输入均为list。

	中心特征
平均数	算术平均数`mean`,浮点算数平均数`fmean` 几何平均数`geometric_mean`，调和平均数`harmonic_mean`
中位数	`median`，分组中位数`median_grouped` 低中位数`median_low`，高中位数`median_high`
众数	`mode`，众数列表`multimode`
标准差	总体`pstdev`，样本`variance`
方差	总体`pstdev`，样本`stdev`

此外，quantiles()将数据以相等的概率分为多个间隔；
covariance()计算样本协方差；correlation()计算皮尔逊相关系数；linear_regression()计算简单线性回归的斜率和截距。

random

基本原理

用于生成伪随机数，之所以有个伪字，是因为计算机没法生成真正的随机，而只是把一个初始值变得面目全非，从而很像随机数。

这个初始值，是通过seed实现的，如果不设置，则默认为当前的系统时间。

在ramdom中，使用最多的应该就是random.random()了，其功能为返回一个[0,1)[0,1)[0,1)区间的实数。接下来可以通过random.random()来验证以下random.seed()的功能。

>>> def rand(n):
...   random.seed(n)
...   print(random.random())
...   print(random.random())
...
>>> rand(3)
0.23796462709189137
0.5442292252959519
>>> rand(3)
0.23796462709189137
0.5442292252959519

使用seed的一个好处是方便算法复现，比如用某个随机数做算法，然后换了个随机数之后发现算法不对了，就会非常尴尬，这个时候seed就派上了用场。

相比之下，getstate和setstate更加强大，可以获取或设置当前的状态。

>>> a = random.getstate()
>>> random.random()
0.36995516654807925
>>> random.random()
0.6039200385961945
>>> random.setstate(a)
>>> random.random()
0.36995516654807925
>>> random.random()
0.6039200385961945

整数和字节

接下来的所有代码默认from random import *。


`randbytes(n)`	生成n个字节
`randrange(b)`	生成一个[0,b]之间的整数
`randrange(a,b,step=1)`	在`range(a,b,step)`中随机选一个数
`randint(a,b)`	相当于`randrange(a, b+1)`
`getrandbits(k)`	相当于`randint(0,2**k)`

分布函数

random中的分布函数均为浮点型。

		分布函数f(x)f(x)f(x)
`uniform(a,b)`	[a,b]间均匀分布	1∣b−a∣,x∈[a,b]\frac{1}{\|b-a\|}, x\in[a,b]∣b−a∣1,x∈[a,b]
`triangular(a,b,mid)`	三角分布
`betavariate(a,b)`	β\betaβ分布	Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−1\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)xa−1(1−x)b−1
`expovariate(a)`	指数分布	a⋅e−axx>0a\cdot e^{-ax}\quad x>0a⋅e−axx>0
`gammavariate(a,b)`	γ\gammaγ分布	xa−1exp⁡(−xb)Γ(a)∗ba\frac{x^{a-1}\exp(\frac{-x}{b})}{\Gamma(a)*b^a}Γ(a)∗baxa−1exp(b−x)
`gauss(b,c)`	正态分布	12πcexp⁡(x−b)22c2\frac{1}{\sqrt{2\pi}c}\exp\frac{(x-b)^2}{2c^2}2πc1exp2c2(x−b)2
`normalvariate(b,c)`	正态分布，慢于gauss	12πcexp⁡(x−b)22c2\frac{1}{\sqrt{2\pi}c}\exp\frac{(x-b)^2}{2c^2}2πc1exp2c2(x−b)2
`lognormvariate(b,c)`	对数正态分布	1cx2πexp⁡(ln⁡x−b)22c2\frac{1}{cx\sqrt{2\pi}}\exp\frac{(\ln x-b)^2}{2c^2}cx2π1exp2c2(lnx−b)2
`vonmisesvariate(a,b)`	冯·米塞斯分布	exp⁡[bcos⁡(x−a)2πJ0(b)]\exp[\frac{b\cos(x-a)}{2\pi J_0(b)}]exp[2πJ0(b)bcos(x−a)]
`paretovariate(a)`	帕累托分布	x−ax^{-a}x−a
`weibullvariate(a,b)`	韦伯分布	ba(xa)b−1exp⁡[−(xa)b]\frac{b}{a}(\frac{x}{a})^{b-1}\exp[-(\frac{x}{a})^b]ab(ax)b−1exp[−(ax)b]

注：

Γ(x)=∫0+∞tz−1e−tdt(x>0)\Gamma(x)=\int^{+\infty}_0t^{z-1}e^{-t}\text dt\quad(x>0)Γ(x)=∫0+∞tz−1e−tdt(x>0)

J0(x)=∑m=0∞(−1)mm!Γ(m+1)(x2)2mJ_0(x)=\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+1)}(\frac{x}{2})^{2m}J0(x)=∑m=0∞m!Γ(m+1)(−1)m(2x)2m

通过matplotlib可绘制一下分布的形状，以正态分布为例：

import matplotlib.pyplot as plt
xs = [gauss(0,1) for _ in range(10000)]
plt.hist(xs,1000)
plt.show()

可以说十分正态了。

用于序列的随机函数

choice(lst)：从lst中随机选择一个数
shuffle(lst)：把lst打乱
sample(lst, k, counts=None)：从lst中选出k个数，counts代表lst中对应元素的个数，为整数。

choices(lst，weights=None, cum_weights=None, k=1)：从lst中选择一个子列表

k为元素个数
weights为相对权重数组，长度与lst相同，每个元素都大于0，代表对应元素出现的概率权重，
cum_weights为累加权重数组，长度与lst相同

fractions

分数模块中主要实现了分数类Fraction，其构造函数被重载成数个，分别可以通过浮点数、两个整数或者字符串等方法，并且对运算符进行了重载。

from fractions import Fraction as Frac
>>> a = Frac("3/5")
>>> a
Fraction(3, 5)
>>> print(a.as_integer_ratio())     #将分数输出为元组
(3, 5)
>>> b = Frac(5,3)   #Fraction(5, 3)
>>> c = Frac(2.5)   #Fraction(5, 2)
>>> print(a+c)
31/10
>>> print(b/c)
2/3

类成员为

real	imag	numerator	denominator
实部	虚部	分子	分母

此外还有一个函数a.limit_denominator(dMax)，用于返回一个分母不大于dMax的最接近于a的分数。

>>> a = Frac(6.4)
>>> a           #由于舍入误差，所以得到的值并不正确
Fraction(3602879701896397, 562949953421312)
>>> a.limit_denominator(10000)
Fraction(32, 5)

decimal

在python中比较常见的问题是

>>> 0.333333333333333333333*3
1.0
>>> 0.999999999999999999999999
1.0

如果这可以算作程序的“自作聪明”的话，那么下面这个就是完全没有必要的误差了。

>>> 0.1*3-0.3
5.551115123125783e-17

decimal就为了解决这个问题，下面的代码默认from decimal imoprt *。

通过Decimal来新建一个Decimal格式的数字，然后就可以像float一样使用Python中的函数了。

>>> x = Decimal(1)
>>> x
Decimal('1')
>>> x/3
Decimal('0.3333333333333333333333333333')
>>> x/3*3
Decimal('0.9999999999999999999999999999')

Decimal对象

Decimal中内置了很多函数，可以通过如下形式调用

>>> D = decimal.Decimal
>>> x = D(15)
>>> x.sqrt()
Decimal('3.872983346207416885179265400')

此外，可以输入一些字符串来得到特殊值，例如无穷大

>>> x = D('Infinity')
>>> x
Decimal('Infinity')

成员变量	`imag`	`real`
	虚部	实部

	函数
返回自身	`conjugate`，`canonical`，`normalize`返回最简形式，`number_class`返回类形式
用于判断	`is_finite`, `is_infinite`, `is_zero`, `is_signed`(判断正数),
	`is_nan`, `is_qnan`, `is_snan`
	`is_normal`, `is_subnormal`, `is_canonical`,
数学函数	`exp`, `ln`, `log10`, `logb`, `sqrt`，`copy_abs`，`copy_negate`返回负值
舍入函数	`to_integral_exact`，`to_integral_value`, `to_integral`
转字符串	`to_eng_string`转字符串，`as_tuple` 返回每一位数字的元组
返回分数	`as_integer_ratio`=ab\frac{a}{b}ba
移位函数	`adjusted` 返回科学计数法的指数
相邻数字	`next_minus`，`next_plus`

	双元运算，默认格式为`a.xxx(b)`
常规运算	`remainder_near`求余，`quantize` 乘方，`a.scaleb(b)`=a×10ba\times10^ba×10b
逻辑运算	`logical_and`, `logical_invert`, `logical_or`, `logical_xor`
比较运算	`compare` 相等为0，a>b为1，a< b为-1
	`compare_signal`，`compare_total`，`compare_total_mag`
	`a.copy_sign(b)`=∣b∣ba\frac{\|b\|}{b}ab∣b∣a
	`same_quantum`如有相同指数则返回1
相邻值	`next_toward`返回趋向b的最接近于a的数字
最值	`max, min, max_mag, min_mag`，例如`a.max(b)`等价于`max(a,b)`

常量和成员变量

舍入模式	舍入方向
ROUND_CEILING	正无穷
ROUND_FLOOR	负无穷
ROUND_DOWN	0
ROUND_UP	0的反方向
ROUND_HALF_DOWN	最接近的数，同样接近则舍入方向为零。
ROUND_HALF_EVEN	最接近的数，同样接近时趋向偶数。
ROUND_HALF_UP	最接近的数，同样接近则舍入到零的反方向
ROUND_05UP	末位趋0或5

常量	MAX_PREC	MAX_EMAX	MIN_EMIN	MIN_ETINY
32位	425000000	MAX_PREC	-MAX_PREC	-849999999
64位	1e18-1	MAX_PREC	-MAX_PREC	-(MAX_PREC-2)

上下文对象

在decimal中，通过上下文对象来管理精度、舍入规则等，可通过getcontext和setcontext来读取和更改。

>>> getcontext()
Context(prec=28, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[Inexact, FloatOperation, Rounded], traps=[InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow])

decimal内置了三种上下文

>>> BasicContext
Context(prec=9, rounding=ROUND_HALF_UP, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[Clamped, InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow, Underflow])
>>> ExtendedContext
Context(prec=9, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[])
>>> DefaultContext
Context(prec=28, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow])

如果希望自定义，可以通过Context的构造函数

Context(prec=None, rounding=None, Emin=None, Emax=None, capitals=None, clamp=None, flags=None, traps=None)

其中

prec为[1, MAX_PREC]范围内的整数，用于设置精度。
rounding 设置舍入方式。
Emin 和 Emax 给定指数所允许的外部上限。 Emin在 [MIN_EMIN, 0]范围内，Emax 在[0, MAX_EMAX]范围内。
capitals默认为1，此时指数符号为大写的E，为0是用小写e。
traps用于设置当前上下文的警告信息。
clamp 默认为0，如果设为 1，则指数e的表示范围在将被限制在 Emin - prec + 1 <= e <= Emax - prec + 1。如果 clamp 为 0 则将适用较弱的条件: Decimal 实例调整后的指数最大值为 Emax。

除了getcontentext之外，还可以通过localcontext来获取当前上下文，其方法为

>>> with d.localcontext() as ctx:
...   print(ctx.prec)
...
28

报错与警告(signal)

在decimal中有14种警告信息(官方文档写的是10个，但源码中有14个)：

除DecimalException为基类外，另外13个警告信息为


`Clamped`	指数超限	`InvalidOperation`	无效操作
`DivisionByZero`	除零错误	`DivisionImpossible`	除法发生了舍入
`Overflow`	溢出	`DivisionUndefined`	未定义的除法
		`Subnormal`	舍入前指数低于`Emin`
`Underflow`	向下溢出	`FloatOperation`	与float运算
`Rounded`	发生了舍入	`ConversionSyntax`	字符串转化不完美
`Inexact`	不精确舍入	`InvalidContext`	上下文有歧义

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