了解了浮点数的存储以及手算平方根的原理，我们可以考虑程序实现了。

先实现一个64位整数的平方根，根据之前的手算平方根，程序也不是那么难写了。

#include

uint64_t _sqrt_u64(uint64_t a)

{

int i;

uint64_t res;

uint64_t remain;

//0的平方根是0,特殊处理一下

if(a == 0ull)

return 0ull;

//找到最高位的1，并且产生平方根结果最高位的1

for(i=62;;i-=2)

if(a&(3ull<

res = 1ull;

remain = ((a&(3ull<>i) - 1ull;

i -= 2;

break;

}

//根据手算平方根的原理，依次产生各位结果

for(;i>=0;i-=2) {

//右移动两位，并把a接着的两位并入remain

remain = (remain<<2)|((a&(3ull<>i);

if(((res<<2)|1ull) <= remain) {

//产生新一位的1

remain = remain - ((res<<2)|1ull);

res = (res<<1)|1ull;

} else {

//产生新一位的0

res <<= 1;

}

}

return res;

}

其实，可以合在一起写，代码会短一些，但效率会低那么一点点，而且编译器应该不太容易优化。

#include

uint64_t _sqrt_u64(uint64_t a)

{

int i;

uint64_t res;

uint64_t remain;

res = remain = 0ull;

for(i=62;i>=0;i-=2) {

remain = (remain<<2)|((a&(3ull<>i);

if(((res<<2)|1ull) <= remain) {

remain = remain - ((res<<2)|1ull);

res = (res<<1)|1ull;

} else {

res <<= 1;

}

}

return res;

}

不过，我们不需要这个结果。

为了验证其正确性，我们来写个C语言的main

#include

#include

#include

uint64_t _sqrt_u64(uint64_t a);

int main()

{

uint64_t a, b;

scanf("%" PRIu64, &a);

b = _sqrt_u64(a);

printf("%" PRIu64 "\n",b);

return 0;

}

我们shell程序测试一下，我们当然不可能测试过每一个64bits的数，这个运算量太大，不现实。我们可以用随机取一部分来测试。

#!/bin/bash

#编译gcc -O2 -s sqrt_u64.c main_sqrt_u64.c -o a.out

#随机测试10000个数for((i=0;i<10000;i++));do#随机产生bits0~64，如果是0，代表测试的数就是0

#如果不是0，则代表要产生的数二进制可以有多少位

let bits=RANDOM%65

if [ $bits -eq 0 ]; thenx=0y=0

else#产生一个bits位的二进制数x

x=$({

#最高位1echo -n 1#之后每位随机产生for((j=1;j

echo -n $xdone})

#用bc将x转换成十进制

x=$(echo ‘obase=10;ibase=2;‘"$x" |bc)

#用bc计算x的平方根取整，理论上和我们的C语言计算一致

y=$(echo ‘sqrt(‘"$x"‘)‘ |bc)fi#z是我们的C语言计算结果

z=$(echo $x | ./a.out)

#比较，如果不一致，就报错if [ $y -ne $z ];then

echo$x $y $z error

exit1

fi

done

echo OK

测试结果表明，我们的C语言还是可以得到正确的结果的。

再来回忆下第一节里讲过的浮点数结构，

S(1bits)  |   N(8bits)  |  A(23bits)

对于浮点数a*2n,

1<=a<2，n为整数，

如果n是偶数，

那么a*2n的平方根是sqrt(a)*2n/2，也满足1<=sqrt(a)<2，n/2是整数；

如果n为奇数，

那么a*2n的平方根是sqrt(2*a)*2(n-1)/2，也满足1<=sqrt(2*a)<2，(n-1)/2是整数。

所以此处要用a或者2*a来开平方根，

回忆一下浮点数的结构，单精度浮点数的精度是23位。

表示的是科学计数法a*2n的a减去1的部分，那么加上整数1可以用二进制24位表示。

于是，我们就想，一个二进制48位或47位长的数，平方根是二进制24位。那么，我们就可以用一个48位或47位的二进制整数的平方根计算结果的小数部分。

nan/inf/-inf以及负数的平方根都是nan，

0.0的平方根是0.0,

-0.0的平方根是-0.0(可能只是某些库里是这样的)，

以上都可以在计算的时候特殊化一下。

规格数(就是用科学计数法表示的浮点数)的平方根也是规格数，

S=0，N=0，A>0代表的是A*2-149，也就是(A*2)*2-150，

我们稍微计算一下，可以明白，所有的此类数的平方根都在规格数表示的范围内。

于是，有了以下的代码。

#include

static uint32_t _sqrt_(uint64_t a)

{

int i;

uint64_t res;

uint64_t remain;

res = remain = 0ull;

//之前整数平方根被直接优化，我们只需要求47位或者48位整数的平方根

for(i=46;i>=0;i-=2) {

remain = (remain<<2)|((a&(3ull<>i);

if(((res<<2)|1ull) <= remain) {

remain = remain - ((res<<2)|1ull);

res = (res<<1)|1ull;

} else {

res <<= 1;

}

}

return (uint32_t)res;

}

float mysqrtf(float f)

{

union {

float f;

uint32_t u;

} n;

uint32_t N,A;

int _N, i;

uint64_t _A;

n.f = f;

if(n.u == 0x80000000 || n.u == 0x00000000) /* 0.0/-0.0 */

return n.f;

N = (n.u&(0xff<<23))>>23;

if(N==0xff||(n.u&0x80000000)) { /* inf/-inf/nan/ f < 0.0*/

n.u = 0x7fc00000; /* nan */

return n.f;

}

if(N!=0x0) { /* 用科学计数法表示的规格数 */

A = (n.u&0x7fffff)|0x800000;

_N = (int)N - 127;

if(N&0x1) {

_A = (uint64_t)A<<23;

} else {

_A = (uint64_t)A<<24;

_N--;

}

} else { //A*2^(-149)这种表示方式的浮点数

//还是需要找最高位

for(i=22;;i--)

if(n.u&((0x1)<

break;

//然后需要移位，要区分奇数和偶数

if(i&0x1) {

_N = i-149;

_A = (uint64_t)n.u << (46-i);

} else {

_N = i-150;

_A = (uint64_t)n.u << (47-i);

}

}

//小数部分

A = _sqrt_(_A);

//指数部分

N = (uint32_t)(_N/2+127);

//得到结果

n.u = (A&0x7fffff)|(N<<23);

return n.f;

}

同样，也写个测试用的程序，对inf/-inf/nan/0.0/-0.0以及负数不测了，这些很简单。

#include

#include

#include

#include

#include

#include

int main(int argc, char **argv)

{

union {

float f;

uint32_t u;

} n;

uint32_t A,N;

float f,f2;

int i;

srand((unsigned)time(NULL));

//随机10000个数据

for(i=0;i<10000;i++) {

N = rand()%256;

if(N==255)

N=254;

A = 0x0;

A |= rand()%256;

A |= (rand()%256)>>8;

A |= (rand()%256)>>16;

n.u = (A&0x7fffff)|(N<<23);

f = sqrtf(n.f);

f2 = mysqrtf(n.f);

printf("%.60f %.60f\n",f,f2);

}

return 0;

}

结果发现，我们的程序和数学库里的sqrtf结果有细微差别。

于是，我们决定再加个小东西，就是四舍五入。之前我们用的是47位或者48位数开平方，为了四舍五入，我们需要多一位，于是就用49位或者50位数开平方。

修改一下mysqrtf，增加两位拿去开平方，_sqrt_也动一下。

#include

static uint32_t _sqrt_(uint64_t a)

{

int i;

uint64_t res;

uint64_t remain;

res = remain = 0ull;

//之前整数平方根被直接优化，我们只需要求49位或者50位整数的平方根

for(i=48;i>=0;i-=2) {//这里之前是46,改成48

remain = (remain<<2)|((a&(3ull<>i);

if(((res<<2)|1ull) <= remain) {

remain = remain - ((res<<2)|1ull);

res = (res<<1)|1ull;

} else {

res <<= 1;

}

}

return (uint32_t)res;

}

float mysqrtf(float f)

{

union {

float f;

uint32_t u;

} n;

uint32_t N,A;

int _N, i;

uint64_t _A;

n.f = f;

if(n.u == 0x80000000 || n.u == 0x00000000) /* 0.0/-0.0 */

return n.f;

N = (n.u&(0xff<<23))>>23;

if(N==0xff||(n.u&0x80000000)) { /* inf/-inf/nan/ f < 0.0*/

n.u = 0x7fc00000; /* nan */

return n.f;

}

if(N!=0x0) { /* 用科学计数法表示的规格数 */

A = (n.u&0x7fffff)|0x800000;

_N = (int)N - 127;

if(N&0x1) {

_A = (uint64_t)A<<25;

} else {

_A = (uint64_t)A<<26;

_N--;

}

} else { //A*2^(-149)这种表示方式的浮点数

//还是需要找最高位

for(i=22;;i--)

if(n.u&((0x1)<

break;

//然后需要移位，要区分奇数和偶数

if(i&0x1) {

_N = i-149;

_A = (uint64_t)n.u << (48-i);

} else {

_N = i-150;

_A = (uint64_t)n.u << (49-i);

}

}

//小数部分

A = _sqrt_(_A);

//四舍五入

A = (A+(A&0x1))>>1;

//指数部分

N = (uint32_t)(_N/2+127);

//得到结果

n.u = (A&0x7fffff)|(N<<23);

return n.f;

}

然后再测，准确无误。于是我们可以完工了。