第一章习题答案

1-1 某厂每日(8h制)产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？

解：(1)确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ；

(2)建立数学模型的目标函数；

取检验费用为目标函数，即：

f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2 + 2(8*25*0.02x1 +8*15*0.05x2 )

=40x1+ 36x2

(3)本问题的最优化设计数学模型：

min f (X) = 40x1+ 36x2 X∈R3·

s.t. g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0

g2(X) =x1 -8≤0

g3(X) =x2-10≤0

g4(X) = -x1 ≤0

g5(X) = -x2 ≤0

1-2 已知一拉伸弹簧受拉力，剪切弹性模量，材料重度，许用剪切应力，许用最大变形量。欲选择一组设计变量使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数，簧丝直径，弹簧中径。试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下

解： (1)确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ；

(2)建立数学模型的目标函数；

取弹簧重量为目标函数，即：

f(X) =

(3)本问题的最优化设计数学模型：

min f (X) = X∈R3·

s.t. g1(X) =0.5-x1 ≤0

g2(X) =10-x2 ≤0

g3(X) =x2-50 ≤0

g4(X) =3-x3 ≤0

g5(X) =≤0

g6(X) =≤0

1-3 某厂生产一个容积为8000 cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ,

表面积为目标函数，即：

minf(X) = x12 + 2 x1 x2

考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：

minf(X) = x12 + 2 x1 x2

X=[x1,x2]T∈R2

s.t. g1(X) = -x1 ≤0

g2(X) = -x2 ≤0

h1(X) = 8000 - x12 x2 = 0

1-4 要建造一个容积为1500 m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。

解：(1)确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ；

(2)建立数学模型的目标函数；

取总价格为目标函数，即：

f(X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2

(3)建立数学模型的约束函数；

1)仓库的容积为1500 m3。即：

1500-x1 x2 x3 =0

2)仓库宽度为高度的两倍。即：

x2 -2 x3 = 0

3)各变量取值应大于0，即：

x1 > 0, x2 .> 0.，则 -x1 ≤0，-x2 ≤0

(4)本问题的最优化设计数学模型：

min f (X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 18 x1 x2 X∈R3·

s.t. g1(X) = -x1 ≤0

g2(X) = -x2 ≤0

g3(X) = -x3 ≤0

h1(X) = 1500-x1 x2 x3 =0

h2(X) = x2 -2 x3 = 0

1-5 绘出约束条件：

； ； 所确定的可行域

1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：

; ; 。

第二章习题答案

2-1 请作示意图解释：的几何意义。

2-2 已知两向量,求该两向量之间的夹角。

2-3 求四维空间内两点和之间的距离。

2-4 计算二元函数在处，沿方向的方向导数和沿该点梯度方向的方向导数。

2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为

求：

(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。

(2) 找出图上的无约束最优解和对应的函数值，约束最优解和；

(3) 若加入一个等式约束条件：

求此时的最优解，。

解：下图为目标函数与约束函数(条件)设计平面X1OX2 。其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。

由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：

X1*＝[3，4]T

函数值 f(X1*)= 0 。

而约束最优解应在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域(阴影线内侧)内寻找，即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程： ，解得X2*=[2，3] 。

函数值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。

加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程： ， 解得X3*=[5/2，5/2] 。

函数值 f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。

2-6 试证明在点处函数具有极小值。

证明：求驻点：，

，

H(X)是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在点处函数具有极小值。

2-7 求函数的极值点，并判断其极值的性质。

解：，

，

H(X)是正定的，所以，为凸函数。

2-8 试判断函数的凸性。

解：，

H(X)是正定的，

所以，为凸函数。

2-9 试用向量及矩阵形式表示并证明它在上是一个凸函数。

解：，

H(X)是正定的，

所以，为凸函数。

2-10 现已获得优化问题

的一个数值解,试判定该解是否上述问题的最优解。

第三章习题答案

3-1 函数，当初始点分别为及时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长。

解：当时

(1)取

=0.1

比较，因 ，所以应作前进搜索。

⑵步长加倍：

=0.3

再比较，因，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。所以：。

(3) 步长加倍：

=0.7

.

比较，因，所以还应再向前搜索, 。

(4) 步长加倍：

=1.5

.

比较，因。已找到具有“高－低－高”特征的区间

即：时，

时，

时，。

所以，，单峰区间为：

。

当时

同理可得：

3-2 用黄金分割法求函数在区间中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。

解：(1)在初始区间[a,b]＝[-3，5]中取计算点并计算函数值

(2)比较函数值，缩短搜索区间

因有f1≤f2，则

(3)判断迭代终止条件

b－a＞ε

不满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。

将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。

表 黄金分割法的搜索过程

区间缩短次数

a

b

α (1)

α (2)

f1

f2

(原区间)

-3

5

0.056

1.944

0.115

7.667

1

-3

1.944

-1.111

0.056

-0.987

0.115

2

-3

0.056

-1.832

-1.111

-0.306

-0.987

3

-1.832

0.056

-1.111

-0.665

-0.987

-0.888

4

-1.832

-0.665

-1.386

-1.111

-0.851

-0.987

(5-8)略

9

-1.11122

-0.94097

-1.046

-1.006

-0.997867

-0.999964

3-3 用二次插值法求函数的最优解。已知搜区间为，选代精度。

解：采用Matlab编程计算得：

3-4 函数，取初始点为，规定沿点的负梯度方向进行一次一维优化搜索，选代精度:。

(1)用进退法确定一维优化搜索区间；

(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；

(3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；

(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？

解：最优点,最优值

二次插值法更快

3-5 求的极小点，选代精度。要求：

(1)从出发，为步长确定搜索区间；

(2)用黄金分割法求极值点；

(3)用二次插值法求极值点。

解：

(1) ①由已知条件可得，

因为，应作前进搜索。

②步长加倍，，

因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。所以：

③步长加倍，，

因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。所以：

④步长加倍，，

因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。所以：

⑤步长加倍，，

因为，所以已找到具有“高—低—高”特征的区间

即时，；

时，；

时，。

(2)由(1)确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得:

(3)由(1)确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:

9

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