最长递增子序列问题 LIS(longest increasing subsequence) 例如

给定一个数列，长度为N，

求这个数列的最长上升(递增)子数列(LIS)的长度.

以

1, 7, 2, 8, 3, 4

为例。

这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为4；

次长的长度为3， 包括 1 7 8; 1 2 3 等.

设数组为：arr

设 foo(k) 为：以数列中第k项 (为了与java数组逻辑一致，这里的k从0开始计算) 结尾的最长递增子序列的长度

则：

foo(0) == 1

foo(k) == max(arr[k]>arr[0]?foo(0)+1:foo(0),

arr[k]>arr[1]?foo(1)+1:foo(1) ,

... ,

arr[k]>arr[k-1]?foo(k-1)+1:foo(k-1))

java代码

public class LISDemo {

public static void main(String[] args){

int[] arr = new int[10];

Random random = new Random();

for (int i = 0; i < arr.length; i++) {

arr[i] = random.nextInt(100);

}

System.out.println("数组"+Arrays.toString(arr));

long time = System.currentTimeMillis();

System.out.println("结果: "+foo(arr, arr.length-1));

System.out.println("耗时: "+(System.currentTimeMillis()-time));

}

private static int foo(int[] arr,int end){

if (end==0) {

return 1;

}

int len = 0;

for (int i = 0; i < end; i++) {

int temp = foo(arr,i);

len = Math.max(len,arr[end]>arr[i]?temp+1:temp);

}

return len;

}

}

这段代码能计算出正确的结果，但是存在问题：

要计算 foo(n)必须先得到 foo(0)~foo(n-1)的值

要计算 foo(n-1)必须先得到 foo(0)~foo(n-2)的值

...

以此类推，可以把他画成一颗多叉树，时间复杂度达到O(2^n)

运行这段代码就会发现 每当数组长度+1 运行耗时大致翻倍，数组长度为几十的时候，运行时间已经无法容忍的长了。

以foo(3)为例，可以画成下面这棵树

可以发现，相同参数的方法被重复计算了多遍，我们可以建立一个hashmap把参数和对应的值存入其中，当结果已经计算过，就直接从hashmap中取出结果不再计算，修改代码为如下,保留了原来的方法做个对比，执行效率天差地别:

public class LISDemo {

public static void main(String[] args){

int[] arr = new int[31];

Random random = new Random();

for (int i = 0; i < arr.length; i++) {

arr[i] = random.nextInt(100);

}

System.out.println("数组"+Arrays.toString(arr));

LIS lis = new LIS(arr);

long time = System.currentTimeMillis();

System.out.println("结果1: "+lis.foo());

System.out.println("耗时1: "+(System.currentTimeMillis()-time));

time = System.currentTimeMillis();

System.out.println("结果2: "+foo(arr, arr.length-1));

System.out.println("耗时2: "+(System.currentTimeMillis()-time));

}

// 最长递增子序列 longest increasing subsequence

private static class LIS{

int[] arr;

HashMap values = new HashMap<>();

LIS(int[]arr){

this.arr = arr;

}

int foo(){

return foo(arr,arr.length-1);

}

private int foo(int[] arr,int end){

Integer value = values.get(end);

if (value != null) {

return value;

}

if (end==0) {

values.put(0,1);

return 1;

}

int len = 0;

for (int i = 0; i < end; i++) {

int temp = foo(arr,i);

len = Math.max(len,arr[end]>arr[i]?temp+1:temp);

}

values.put(end,len);

return len;

}

}

private static int foo(int[] arr,int end){

if (end==0) {

return 1;

}

int len = 0;

for (int i = 0; i < end; i++) {

int temp = foo(arr,i);

len = Math.max(len,arr[end]>arr[i]?temp+1:temp);

}

return len;

}

}