傅里叶（一）：傅里叶分析
目录
1 概念解释
1.1 正弦波
1.2 时域
1.3 频域
1.4 时域转频域
2 傅里叶级数(Fourier Series)
2.1 频谱
2.2 傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
3 傅里叶变换（Fourier Transformation）
4 傅里叶分析的四种形式
5 傅里叶系列公式推导
5.1 傅里叶级数的推导 （FS）
5.2 傅里叶变换的推导（FT）
5.3 离散傅里叶变换（DFT）
1807年，39岁的法国数学家傅里叶于法国科学学会上展示了一篇论文(此时不能算发表，该论文要到21年之后发表)，论文中有个在当时极具争议的论断：“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”。
这篇论文，引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注!
58岁的拉普拉斯赞成傅里叶的观点。
71岁的拉格朗日(貌似现在的院士，不用退休)则反对，反对的理由是“正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号” 。屈服于拉格朗日的威望，该论文直到朗格朗日去世后的第15年才得以发表。
之后的科学家证明：傅里叶和拉格朗日都是对的！
有限数量的正弦曲线的确无法组合成一个带有棱角的信号，然而，无限数量的正弦曲线的组合从能量的角度可以非常无限逼近带有棱角的信号。
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。
傅里叶变换的核心是从时域到频域的变换，而这种变换是通过一组特殊的正交基来实现的。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)。
1 概念解释
1.1 正弦波
正弦波是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名。任何复杂信号——例如光谱信号，都可以看成由许许多多频率不同、大小不等的正弦波复合而成。
本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
1.2 时域
时域是描述一个数学函数或物理信号对时间的关系，这也是我们日常中最容易直观感受的一种域。从我们学物理开始，很多物理量的定义都是跟时间相关的。
- 速度：位移与发生这个位移所用的时间之比
- 电流：单位时间里通过导体任一横截面的电量
- 功率：物体在单位时间内所做的功的多少
很多物理量的定义都是基于单位时间产生的效果或者变化，以时间为参考让我们更容易理解。但是容易理解不代表方便使用，或者说方便计算。
比如一段音频的波形图（来自李荣浩《麻雀》的副歌部分——“我飞翔在乌云之中，你看着我无动于衷...”），如下图。
其中横轴是时间 t，纵轴是振幅A [-1, 1]。
假设播放器读入这段音频进行音频播放。现在我想让音量大一些，播放器应该怎么做呢？
因为上面的波形图的振幅对应的其实就是声音的强度，如果想让音量大一些，只需要将整体的振幅同比例扩大即可。这个需求看起来很容易满足。
如果想加强上面这段音乐的低音部分，更加厚重一些，那播放器应该怎么做呢？
虽然这是一段美妙的音乐，但是从时域的图像看起来，似乎杂乱无章，想找到低音部分根本无从下手，跟不用说将低音部分加强了。因为高中低音在时域中是杂糅在一起的，我们无法将他们剥离开来，随便改动波形图中的一小部分，都会同时影响到高中低音。所以如果播放器仅仅对时域信号进行处理是无法完成这个需求的。
和时域的这种限制类似的还有RGB空间。任何一个颜色都可以通过R/G/B(红/绿/蓝)三原色表示出来。如下图。
通过调整三种颜色的配比，就能混合出各种颜色。为什么我们经常通过RGB空间来表示所有的颜色呢？因为人类有三种视锥细胞，而这三种视锥细胞最敏感的波长接近于红/绿/蓝（如下图）。所以任何颜色对于大脑来说，都是这三种视锥细胞电信号的混合作用。这也是我们使用RGB空间的生物学基础。
虽然RGB空间和我们的视锥细胞原理类似，而且模型非常简单。但是在某些条件下，它仍然无法满足我们的需求。比如，我们在拍照时有时会出现红眼现象（如下图的美女）。
我们需要PS掉红眼，但是我们如何在RGB空间中找到红色的范围呢？有人可能会说，R值越大的地方代表越红，是这样的吗？我们看(R,G,B)=(170, 0, 0)时，颜色如下，
上图的颜色我们可以认为是红色的范围。但当RGB=(187, 187, 187)的时候，颜色如下图所示，
虽然R的值增大了，但是G/B值的大小也会影响混合的颜色，导致变成了灰色。所以RGB三个值，牵一发而动全身，如果想在RGB空间找到红色范围是非常困难的，这就需要将色彩从RGB空间转换到HSV空间（如下图，这里不做详述），在HSV空间红色的范围可以很容易的表示出来。
RGB空间就和时域一样，都有着自身的限制。所以最容易理解的表现形式并不一定是最方便计算的。我们往往需要进行一种变换，将在原来空间中难以处理的问题变换到方便计算的空间中去。
1.3 频域
频域就是描述频率所用到的空间或者说坐标系。频率虽然比较抽象，但是在我们的生活中是无处不在的，只是我们很少直接提到这个专业名词。
对于波来说，频率是每秒波形重复的数量。声音是一种波；光具有波粒二象性，也具有电磁波的性质；更普遍的说，频率是物质每秒钟完成周期性变化的次数。比如家里用的交流电是50Hz，意思就是电压每秒完成50次振荡周期，如下图。
而前面提到的低音效果是什么样的效果呢？就好比家庭影院中的低音炮，它是如何实现重低音的呢？简单来说，可以将它简化成一个低通滤波器，下图是低通滤波器的频率响应曲线。
横轴是频率(Hz)，纵轴是声音大小(dB)。（请忽略图中的频率刻度，没有对应人声的频率范围）
所谓的低音效果，其实就是对人声中的低音部分保留或增强，对应上图中左侧的横线部分；而对于人声中的高音部分进行衰减，对应上图中右侧的斜坡部分。通过这个低通滤波器，我们就能将低音过滤，将高音衰减。为了实现更好的视听效果，实际中，功放或播放器的实现会比这个复杂得多，上图中进行了极简化。
可见，低音效果是在频率范围内考虑问题，而波形图是在时域内的图像，所以如果想在时域内解决低音效果的问题，就如同鸡同鸭讲。所以我们要就要找到一个沟通时域和频域的桥梁，也就是一个翻译，让时域和频域能够无障碍的沟通。但是，时域和频域表达的又只能是同一种信息，只是表现形式不同。
1.4 时域转频域
极坐标与直角坐标系类比
前面类比了RGB空间，解释了为什么要进行时域到频域的转换。可能还不够形象，这里再用直角坐标系和极坐标系做一个类比。
我们来看一下阿基米德螺线(如下图)，当一点P沿动射线OP以等速率向外运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为: 。这种螺线的每条臂的间距永远相等于 。
这种曲线在极坐标系中很容易的表示出来，而且形式非常简单优雅。但是在直角坐标系下要以X-Y的形式表示出来确是非常困难的，只能用参数化方程来表示。也就是说，有些问题，当我们换一个空间或者说域去考虑的时候，可能会豁然开朗。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)。
2 傅里叶级数(Fourier Series)
2.1 频谱
如上图所示：
- 第一幅图是一个余弦波 cos（x）
- 第二幅图是 2 个余弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
- 第三幅图是 4 个余弦波的叠加
- 第四幅图是 10 个余弦波的叠加
那么问题来了：
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，那么可以推出什么？
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
动图展示：
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
视频：看完绝逼理解“傅里叶级数” https://www.bilibili.com/video/BV1Gz411z7Sx/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.0
一个矩形波，在频域里的另一个模样：
这就是矩形波在频域的样子。频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
怎么定义正弦波？
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。
视频：https://vdn1.vzuu.com/SD/d223de46-23a7-11eb-95ec-fe27a5b7ef44.mp4?disable_local_cache=1&auth_key=1625039453-0-0-77ed33390a1542990944f1306b2fd2de&f=mp4&bu=pico&expiration=1625039453&v=hw
2.2 傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
频谱只代表了一个正弦函数的幅值，而要准确描述一个正弦函数，我们不仅需要幅值，还需要相位，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。
频谱的重点是侧面看，相位谱的重点则是从下面看。
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。
注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：
示例：
先来看一下标准正弦函数，如下图。
在时域它的函数方程是 ，而它的频率是 。所以，上面这个函数在频域中的图像如下
横轴是频率f（），纵轴是幅值A（1）。上面两张图分别从时域和频域展示了正弦函数，但表达的都是同样的信息。
更一般的有 ，其中是正弦函数的频率，是初始相位，是幅度。在广义的频率中，可正可负，上图中旋转臂顺时针旋转，为负值。如果旋转臂转的越快，则频率越高；零时刻旋转臂和水平方向的夹角，就是初始相位。
3 傅里叶变换（Fourier Transformation）
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波。
- 傅里叶级数：在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。
- 傅里叶变换：我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
上一张图方便大家理解吧：
或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。
以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海：
不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
4 傅里叶分析的四种形式
- 连续时间，离散频率的傅里叶变换——傅里叶级数 FS
- 连续时间，连续频率的傅里叶变换——连续傅里叶变换 FT
- 离散时间，连续频率的傅里叶变换——序列的傅里叶变换 DTFT
- 离散时间，离散频率的傅里叶变换——离散傅里叶变换 DFS
- 一个域是连续的，则对应的另一个域一定是非周期的；
- 一 个 域 是 离 散 的 ， 则 对 应 的 另 一 个 域 一 定 是 周 期 的 。
5 傅里叶系列公式推导
5.1 傅里叶级数的推导 （FS）
级数：是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。
详见：https://blog.csdn.net/weixin_39910711/article/details/118380745
5.2 傅里叶变换的推导（FT）
详见：https://blog.csdn.net/weixin_39910711/article/details/118386251
5.3 离散傅里叶变换（DFT）
https://blog.csdn.net/weixin_39910711/article/details/118387124
正弦波有个其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具备的特点：正弦波输入至任何线性系统，出来的还是正弦波，改变的仅仅是幅值和相位，即：正弦波输入至线性系统，不会产生新的频率成分(非线性系统如变频器，就会产生新的频率成分，称为谐波)。
用单位幅值的不同频率的正弦波输入至某线性系统，记录其输出正弦波的幅值和频率的关系，就得到该系统的幅频特性，记录输出正弦波的相位和频率的关系，就得到该系统的相频特性。
正弦函数有一个特点，叫做正交性，所谓正交性，是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的公共周期内的积分等于零。
对于连续周期信号，比如上图中的周期方波，严格意义上说它的频域变换叫做傅里叶级数，因为经过频域变换后，它的频谱是离散的。而当我们现在说起傅里叶变换，默认指的是连续非周期信号的变换，如下图所示。因为非周期信号可以想象成信号的周期趋近于无穷大，所以傅里叶变换其实是对傅里叶级数的扩展。
如何理解傅里叶变换公式？：https://www.zhihu.com/question/19714540
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
什么是相位？如何更加形象直观地理解相位？https://www.zhihu.com/question/31104681/answer/173663286
从时域和频域来解析傅里叶变换（含代码和性质）：https://www.jianshu.com/p/4cb34e716fd1
傅里叶变换就是这么简单，你学会了吗? ：https://www.sohu.com/a/224533027_99907714
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