Arnold 映射定义如下
( x n + 1 y n + 1 ) = ( 1 1 1 2 ) ( x n y n ) m o d 1 \left( \begin{matrix} {{x}_{n+1}} \\ {{y}_{n+1}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{x}_{n}} \\ {{y}_{n}} \\ \end{matrix} \right)\text{ }\bmod 1 (xn+1​yn+1​​)=(11​12​)(xn​yn​​) mod1

1. 将其离散化，应用到图像变换，假设图像大小为 N × N N\times N N×N， ( m n ) = ( 1 1 1 2 ) ( i j ) m o d N , i , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 \left( \begin{matrix} m \\ n \\\end{matrix} \right)\text{=}\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} i \\ j \\\end{matrix} \right)\text{ }\bmod \text{ }N,i,j=0,1,\cdots ,N-1 (mn​)=(11​12​)(ij​) mod N,i,j=0,1,⋯,N−1将原始明文图像rice.png中灰度值矩阵 I I I在位置 ( i , j ) (i,j) (i,j)的灰度值变换为新的置乱矩阵 C C C在位置 ( m , n ) (m,n) (m,n)的灰度值，得到一个新的置乱矩阵 C C C，可视化得到的结果。

主程序代码 (Problem_1.m)

% 实现功能:
% 给定一个明文图像I, 对其进行一轮经典的二维Arnold变换得到置乱矩阵J
% 并可视化得到的结果clear; clc;
I = imread('rice.png');  % 读入图像素材并作为明文图像% 判断该图像是否符合应用Arnold变换的条件: 图像矩阵是否为方阵
[row, column] = size(I);
if row ~= columnerror('明文图像矩阵不是方阵，无法应用Arnold变换进行加密');
end
N = row;% 展示明文图像I
figure, imshow(I); title('明文图像I');% 对明文图像I进行一轮二维Arnold变换加密
J = I;
for i = 0 : N - 1for j = 0 : N - 1i1 = mod(i + j, N); j1 = mod(i + 2 * j, N);J(i1 + 1, j1 + 1) = I(i + 1, j + 1);end
end% 对一轮Arnold加密后得到的密文图像J可视化
figure, imshow(J); title('密文图像C');

结果

明文图像

密文图像

2. 将映射推广为以下的形式（参数 p , q p,q p,q选择为 0 ∼ N − 1 0\sim N-1 0∼N−1之间的整数，可以视作密钥） ( m n ) = ( 1 p q 1 + p q ) ( i j ) m o d N , i , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 \left( \begin{matrix} m \\ n \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & p \\ q & 1+pq \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} i \\ j \\\end{matrix} \right)\text{ }\bmod N,i,j=0,1,\cdots ,N-1 (mn​)=(1q​p1+pq​)(ij​) modN,i,j=0,1,⋯,N−1实现置乱加密，设计一个函数m文件，输入变量为密钥 p , q p,q p,q，置乱轮数 i t e r iter iter，以及明文图像 I I I，输出量为密文图像 C C C，然后在主程序中调用。特别当 p = 13 , q = 129 p\text{=}13,q\text{=}129 p=13,q=129，对明文图像rice.png加密3轮得到密文图像 C C C，显示明文图像和密文图像的直方图，并计算其信息熵。

广义Arnold变换函数代码 (general_arnoldmap.m)

function C = general_arnoldmap( I, p, q, iter )
%% 说明
% 参数意义
% I : 输入的明文图像
% p, q : 构成广义Arnold变换矩阵的密钥
%        广义Arnold变换矩阵的形式为 A = [ 1, p; q, 1 + p * q ];
% iter : 置乱轮数
% C : 输出的密文图像
%
% 功能
%   按照输入的密钥p, q构建广义Arnold变换矩阵A
%   将输入的明文图像I在A的作用下进行iter轮置乱加密得到密文图像C%% 输入参数检验% 检验输入的图像I是否符合应用Arnold变换的前提条件: I是否是方阵
[row, column] = size(I);
if row ~= columnerror('输入的明文图像I的矩阵不是方阵, 不适用Arnold变换');
end
N = row;% 检验参数p, q是否为整数
if floor(p) ~= perror('输入的参数p不是一个整数');
end
if floor(q) ~= qerror('输入的参数q不是一个整数');
end% 检验输入的置乱轮数iter是否是正整数
if floor(iter) ~= iter || iter < 1error('输入的置乱轮数不是一个正整数');
end%% 函数主体
% 根据输入的p, q构造广义Arnold变换矩阵A
A = [ 1, p; ...q, 1 + p * q ];% 将输入的明文图像I进行iter轮置乱加密
C = I;
for k = 1 : iterfor i = 0 : N - 1for j = 0 : N - 1I_pos = [ i; j ];C_pos = mod( A * I_pos, N );C( C_pos(1) + 1 , C_pos(2) + 1 ) = ...I( I_pos(1) + 1, I_pos(2) + 1 );endenddisp(['完成了第', num2str(k), '轮加密']);I = C;
end
end

主程序代码 (Problem_2.m)

% 目标任务
% 设置密钥p = 13, q = 129, 置乱轮数iter = 3
% 对明文图像I加密3轮得到密文图像C
% 之后显示明文图像和密文图像的直方图, 并计算其信息熵clear; clc;
p = 13;  q = 129;  iter = 3;  % 初始化参数
I = imread('rice.png');  % 读入明文图像IC = general_arnoldmap( I, p, q, iter );  % 对I进行广义Arnold变换加密% 显示明文图像I和密文图像C
figure, imshow(I); title('明文图像I');
figure, imshow(C); title('密文图像C');% 显示明文图像I和密文图像C的灰度直方图
figure, imhist(I); title('明文图像I的灰度直方图');
figure, imhist(C); title('密文图像C的灰度直方图');
if isequal(imhist(I), imhist(C))disp('明文图像和密文图像的灰度直方图是一致的');
elsedisp('明文图像和密文图像的灰度直方图是不一致的');
end% 计算信息熵
disp(['明文图像I的信息熵为: ', num2str(entropy(I))]);
disp(['密文图像C的信息熵为: ', num2str(entropy(C))]);

作图结果

明文图像I	密文图像C

命令行窗口输出

完成了第1轮加密
完成了第2轮加密
完成了第3轮加密
明文图像和密文图像的灰度直方图是一致的
明文图像I的信息熵为: 7.0115
密文图像C的信息熵为: 7.0115

3. 实现第2题中加密算法的解密算法，同样设计一个函数m文件，输入变量为 p , q p,q p,q，置乱轮数 i t e r iter iter，输出量为密文图像 I I I。

广义Arnold逆变换函数代码 (general_arnoldmap_inv1.m) – 逆矩阵法

function I = general_arnoldmap_inv1( C, p, q, iter )
%% 说明
% 参数意义
% C: 输入的待解密的密文图像C
% p, q: 广义Arnold变换涉及的密钥
%       广义Arnold变换矩阵 A = [ 1, p; q, 1 + p * q ];
%       其逆变换矩阵为 A_inv = [ 1 + p * q, -p; -q, 1 ];
% iter: 置乱（解密）轮数
% I: 输出的解密图像I
%
% 功能
%     按照输入的密钥p, q构造广义Arnold变换逆矩阵A_inv
%     将输入的密文图像C进行iter轮解密得到明文图像I%% 输入参数检验
% 检验输入的密文图像C的图像矩阵是否是方阵
[row, column] = size(C);
if row ~= columnerror('输入的密文图像C的图像矩阵不是方阵，不适用Arnold逆变换');
end
N = row;% 检验参数p, q是否为整数
if floor(p) ~= perror('输入的密钥p不是整数');
end
if floor(q) ~= qerror('输入的参数q不是整数');
end% 检验解密轮数iter是否为正整数
if floor(iter) ~= iter || iter < 1error('解密轮数iter不是正整数');
end%% 函数主体
% 构造广义Arnold逆变换矩阵
A_inv = [ 1 + p * q, -p; ...-q, 1 ];% 对密文图像C进行解密得到I
I = C;
for k = 1 : iterfor i = 0 : N - 1for j = 0 : N - 1C_pos = [ i ; j ];I_pos = mod(A_inv * C_pos, N);I( I_pos(1) + 1, I_pos(2) + 1 ) = ...C( C_pos(1) + 1, C_pos(2) + 1 );endenddisp(['完成了第', num2str(k), '轮解密']);C = I;
endend

广义Arnold逆变换函数代码 (general_arnoldmap_inv2.m) – 回溯法

function I = general_arnoldmap_inv2( C, p, q, iter )
%% 说明
% 参数意义
% C: 输入的待解密的密文图像C
% p, q: 广义Arnold变换涉及的密钥
%       广义Arnold变换矩阵 A = [ 1, p; q, 1 + p * q ];
% iter: 置乱（解密）轮数
% I: 输出的解密图像I
%
% 功能
%     按照输入的密钥p, q构造广义Arnold变换矩阵A
%     将输入的密文图像C进行iter轮回溯得到明文图像I%% 输入参数检验
% 检验输入的密文图像C的图像矩阵是否是方阵
[row, column] = size(C);
if row ~= columnerror('输入的密文图像C的图像矩阵不是方阵，不适用Arnold逆变换');
end
N = row;% 检验参数p, q是否为整数
if floor(p) ~= perror('输入的密钥p不是整数');
end
if floor(q) ~= qerror('输入的参数q不是整数');
end% 检验解密轮数iter是否为正整数
if floor(iter) ~= iter || iter < 1error('解密轮数iter不是正整数');
end%% 函数主体
% 构造广义Arnold变换矩阵
A = [1, p; ...q, 1 + p * q];% 对密文图像C进行解密得到I
I = C;
for k = 1 : iterfor i = 0 : N - 1for j = 0 : N - 1I_pos = [ i ; j ];C_pos = mod(A * I_pos, N);I( I_pos(1) + 1, I_pos(2) + 1 ) = ...C( C_pos(1) + 1, C_pos(2) + 1 );endenddisp(['已完成第', num2str(k), '轮解密']);C = I;
endend

主程序代码 (Problem_3.m)

% 目标任务
% 设置p = 13, q = 129, iter = 3
% 对明文图像I0进行广义Arnold变换得到密文图像C
% 再对密文图像C进行广义Arnold逆变换得到明文图像I
% 比较I0与解密得到的I是否一致，有无信息缺损
% 显示I0, C, I的灰度直方图
% 分别其信息熵clear; clc;
p = 13;  q = 129;  iter = 3;  % 初始化参数
I0 = imread('rice.png');  % 读入图像
C = general_arnoldmap(I0, p, q, iter);  % 广义Arnold变换
I = general_arnoldmap_inv1(C, p, q, iter);
% I = general_arnoldmap_inv2(C, p, q, iter);  % 广义Arnold逆变换
if isequal(I0, I)disp('广义Arnold逆变换解密得到的图像与原明文图像一致');
elsedisp('广义Arnold逆变换解密得到的图像与原明文图像不一致');
end% 显示图像I0, C, I, 以及相应的灰度直方图
figure, imshow(I0); title('明文图像I0');
figure, imhist(I0); title('明文图像I0灰度直方图');
figure, imshow(C); title('密文图像C');
figure, imhist(C); title('密文图像C灰度直方图');
figure, imshow(I); title('解密图像I');
figure, imhist(I); title('解密图像I灰度直方图');% 分别计算I0, C, I的信息熵
disp(['原明文图像I0的信息熵为: ', num2str( entropy(I0) )]);
disp(['密文图像C的信息熵为: ', num2str( entropy(C) )]);
disp(['解密得到的图像I的信息熵为: ', num2str( entropy(I) )]);

结果
  明文图像 I 0 I0 I0及其灰度直方图，密文图像 C C C及其灰度直方图同第2题。

解密图像I

命令行窗口输出

完成了第1轮加密
完成了第2轮加密
完成了第3轮加密
完成了第1轮解密
完成了第2轮解密
完成了第3轮解密
广义Arnold逆变换解密得到的图像与原明文图像一致
原明文图像I0的信息熵为: 7.0115
密文图像C的信息熵为: 7.0115
解密得到的图像I的信息熵为: 7.0115

4. 将变换推广到更一般的情况： ( m n ) = ( a b c d ) ( i j ) m o d N , i , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 \left( \begin{matrix} m \\ n \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} i \\ j \\\end{matrix} \right)\text{ }\bmod N,i,j=0,1,\cdots ,N-1 (mn​)=(ac​bd​)(ij​) modN,i,j=0,1,⋯,N−1其中变换矩阵的系数在 0 , 1 , ⋯ , N − 1 0,1,\cdots ,N-1 0,1,⋯,N−1中选取，其行列式 a d − b c ad-bc ad−bc满足与 N N N互质即可实现变换的可逆性。 假设图像大小为 N × N = 256 × 256 N\times N=256\times 256 N×N=256×256，用 ( m n ) = ( 121 10 37 217 ) ( i j ) m o d N , i , j = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 \left( \begin{matrix} m \\ n \\\end{matrix} \right)\text{=}\left( \begin{matrix} 121 & 10 \\ 37 & 217 \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} i \\ j \\\end{matrix} \right)\text{ }\bmod N,i,j=0,1,\cdots ,N-1 (mn​)=(12137​10217​)(ij​) modN,i,j=0,1,⋯,N−1实现rice.png的一轮加密和解密。

一般加密算法函数代码 (general_encryption.m)

function C = general_encryption( I, M, iter )
%% 说明
% 参数意义
% I : 输入的明文图像
% M : 输入的变换矩阵
% iter : 输入的变换轮数
% C : 输出的密文图像
%
% 功能
% 对输入的明文图像I在变换矩阵M的作用下加密iter轮得到密文图像C%% 检验输入的参数% 检验输入的明文图像是否是方阵
[row, column] = size(I);
if row ~= columnerror('输入的明文图像不是一个方阵');
end
N = row;% 检验加密轮数iter是否为正整数
if floor(iter) ~= iter || iter < 1error('输入的加密轮数iter不是一个正整数');
end% 对输入的变换矩阵进行检验
% 检验M是否是 2*2 矩阵
[row, column] = size(M);
if row ~= 2 || column ~= 2error('输入的变换矩阵不是2*2的方阵');
end
% 检验M中的四个元素是否均为实整数
if ~isreal(M) || ismember(1, floor(M) ~= M)error('输入的变换矩阵存在非实整数的元素');
end
% 检验M的行列式是否与N互素(互素时变换才可逆, 才能进行解密)
if gcd( det(M), N ) ~= 1error('输入的变换矩阵对应的置乱变换不可逆');
end%% 函数主体
C = I;
for k = 1 : iterfor i = 0 : N - 1for j = 0 : N - 1I_pos = [ i ; j ];C_pos = mod( M * I_pos, N );C( C_pos(1) + 1, C_pos(2) + 1 ) = ...I( I_pos(1) + 1, I_pos(2) + 1 );endenddisp(['已完成第', num2str(k), '轮加密']);I = C;
end
end

一般解密算法函数代码 (general_decryption.m)

function I = general_decryption( C, M, iter )
%% 说明
% 参数意义
% C : 输入的密文图像
% M : 输入的加密变换矩阵
% iter : 输入的变换轮数
% I : 输出的明文图像
%
% 功能
% 对输入的密文图像C，根据变换矩阵M的信息，解密iter轮得到结果I%% 检验输入的参数% 检验输入的明文图像是否是方阵
[row, column] = size(C);
if row ~= columnerror('输入的密文图像不是一个方阵');
end
N = row;% 对输入的变换矩阵进行检验
% 检验M是否是 2*2 矩阵
[row, column] = size(M);
if row ~= 2 || column ~= 2error('输入的变换矩阵不是2*2的方阵');
end
% 检验M中的四个元素是否均为实整数
if ~isreal(M) || ismember(1, floor(M) ~= M)error('输入的变换矩阵存在非实整数的元素');
end
% 检验M的行列式是否与N互素(互素时变换才可逆, 才能进行解密)
if gcd( det(M), N ) ~= 1error('输入的变换矩阵对应的加密置乱变换不可逆');
end%% 函数主体
I = C;
for k = 1 : iterfor i = 0 : N - 1for j = 0 : N - 1I_pos = [ i ; j ];C_pos = mod( M * I_pos, N );I( I_pos(1) + 1, I_pos(2) + 1 ) = ...C( C_pos(1) + 1, C_pos(2) + 1 );endenddisp(['已完成第', num2str(k), '轮解密']);C = I;
end
end

主程序代码 (Problem_4.m)

% 目标任务
% 给定一个变换矩阵M和置乱轮数iter
% 对明文图像I0进行加密得到密文图像C
% 再对密文图像C解密得到I
% 比较I0与I是否一致clear; clc;
M = [ 121, 10; 37, 217 ];  % 设置变换矩阵
iter = 1;  % 设置置乱轮数
I0 = imread('rice.png');  % 读入图片
C = general_encryption(I0, M, iter);
I = general_decryption(C, M, iter);% 比对I0与I是否一致
if isequal(I0, I)disp('明文图像I0与解密得到的结果I是一致的');
elsedisp('明文图像I0与解密得到的结果I是不一致的');
end% 展示I0, C, I
figure, imshow(I0); title('明文图像I0');
figure, imshow(C); title('密文图像C');
figure, imshow(I); title('解密图像I');

结果

明文图像I0

密文图像C

解密图像I

命令行窗口输出

已完成第1轮加密
已完成第1轮解密
明文图像I0与解密得到的结果I是一致的

图像加密 关于二维Arnold变换，广义Arnold变换和更一般形式变换的练习（Matlab实现）相关推荐

1. 图像隐写，如何在图像中隐藏二维码

   一.前言 在某个App中有一个加密水印的功能,当帖子的主人开启了之后.如果有人截图,那么这张截图中就是添加截图用户.帖子ID.截图时间等信息,而且我们无法用肉眼看出这些水印. 这可以通过今天要介绍的隐 ...

2. 【Python】函数图像绘制：二维图像、三维图像、散点图、心形图

   [Python]函数图像绘制:二维图像.三维图像.散点图.心形图 所有需要用的包 二维图像 三维图像 散点图绘制 心形图绘制 所有需要用的包 from mpl_toolkits.mplot3d imp ...

3. matlab 把图像变成二维的,matlab图像怎么变成二维矩阵

   求:matlab二维直方图图像分割程序.. 我给你个网站``里面的教学很详细~~希望能帮到你~~~~反正里面的软件教程很多``就是不知道有没你要找的``如果有~~给我加分哈``http://tech. ...

4. 图像傅里叶变换（二维离散傅里叶变换）

   图像傅里叶变换 二维离散傅里叶变换是将图像从空间域转至频域,在图像增强.图像去噪.图像边缘检测.图像特征提取.图像压缩等等应用中都起着极其重要的作用.理论基础是任意函数都可以表示成正弦函数的线性组合的 ...

5. 二维码门禁助力于打造更智能化的出入管理-码上开门，说走就走

   随着门禁行业的逐渐成熟发展,作为智能门禁的新秀-二维码门禁以低成本.智能化.高效率的管理模式越来越受到人们的关注.特别是在智慧城市建设的呼吁下,很多写字楼.智慧社区.办公楼.酒店和公寓等场景都离不开它 ...

6. SAR成像系列：【3】合成孔径雷达（SAR）的二维回波信号与简单距离多普勒（RD）算法 （附matlab代码）

   合成孔径雷达发射信号以线性调频信号(LFM)为基础,目前大部分合成孔径雷达都是LFM体制,为了减轻雷达重量也采用线性调频连续波(FMCW)体制:为了获得大带宽亦采用线性调频步进频(FMSF)体制. ( ...

7. 一物一码二维码营销，让消费者选择更清澈透明

   市场上的商品琳琅满目,各形各色,很多时候消费者在做商品选择时无法迅速辨别商品的真假好坏,那作为消费者该如何辨别商品并作出正确的选择呢? 一物一码二维码营销系统,赋予每个商品独一无二的编码身份证,通过这 ...

8. 关于极坐标下图像旋转与二维傅里叶变换的讨论

   1.问题背景 此问题来源于冈萨雷斯的数字图像处理(第三版)5.19题,自己做的时候,没发现哪里有问题,一个同学的提问使我重新审视了这个问题,并感觉对傅里叶变换有了新的理解. 根据下面一部分的基础知识, ...

9. opencv将图像转换成二维数组再将数组数据传给新图像

   话不多说,直接上代码: #include<iostream> #include<fstream> #include "cv.h" #include &quo ...

最新文章

1. MTDDL——美团点评分布式数据访问层中间件
2. 《罗辑思维》读书笔记及思维导图
3. Redis简介及入门
4. uniapp光标自动定义到文本框_特检自动化行吊静力检测方案
5. 概率图模型的d-separation概念
6. vuejs 和 element 搭建的一个后台管理界面
7. 嵌入式MicroFlighter 之STM32F103学习——编写第一个STM32程序
8. springMVC get 提交乱码
9. 树莓派搭建kms服务器
10. PyQt(Python+Qt)学习随笔：图例解释QFrame类的lineWidth、midLineWidth以及frameWidth属性
11. GPRS使用AT指令发短信拨号
12. 微信开发者工具配置服务器信息,微信开发者中心如何配置
13. doccano安装与使用（Win10）
14. MDK 更换版本，原工程debug标签setting闪退
15. HCNA安全学习笔记
16. 潦草手写体也能轻松识别，快速提取文字不用愁
17. 隐藏在今日头条百亿市值背后的算法：巨大可能与现实困境
18. AD中 Top Solder和Top Paste的区别
19. Manjaro 安装搜狗中文输入法
20. 个人购买的域名（需要公网服务器）快速配置免费的HTTPS证书【有手就行】

热门文章

1. Python编写的srt文件时间轴和编号整理程序
2. 物理学在计算机领域的应用,物理学在计算机中的应用.pdf
3. 睿智的目标检测18——Keras搭建Faster-RCNN目标检测平台
4. ioi2016aliens
5. 北上深杭广漂，似曾相识的代码人生（转知乎）
6. Google入门到精通(搜索方法经典)
7. 大白话5分钟带你走进人工智能-神经网络之tensorflow的前世今生和DAG原理图解
8. 西安航空学院计算机二级难吗,如果只看学校不看专业的话南航，华东理工，西工大该怎么选？...
9. Arcmap转nc文件为TIFF格式（以逐月降水量数据集转年均数据为例）
10. 爱情，你究竟是什么模样？