special design topics in digital wideband receivers 第6、14章翻译

6 Signal Detection from Fast Fourier Transform (FFT) Outputs

6.1 介绍

本章的目的是寻找发现概率和虚警概率。对于接收机工程师来说，这是一个众所周知的问题。在本研究中，快速傅立叶变换(FFT)操作的输出将用于检测。构建接收器的一种常见方法是从FFT输出执行检测。由于第5章说明当FFT长度小于32点时，IQ输出不是很平衡，所以本章中最短的FFT长度将从32点开始。为了进行这项研究，有必要找出噪声和信号的分布。一旦发现分布，就可以确定虚警概率和检测概率。

另一项相关研究是对时域FFT的振幅进行求和。这是一个非相干处理，以提高接收机的灵敏度，如果输入信号很长。通过FFT输出累加并不会提高频率分辨率，而只能提高检测长弱信号的灵敏度。这是雷达探测中常见的做法。将FFT振幅多次相加后，概率密度由瑞利向高斯变化。找到瑞利向高斯过渡周期的概率密度函数是很重要的。研究将包括所有三种情况:瑞利分布、正态分布和过渡阶段的分布。

还将研究加窗对信号和噪声的影响，看加窗是否影响接收机的灵敏度。本章的大部分研究都是基于仿真结果。得出的结论也是基于仿真结果，而不是理论预测。理论预测仅用于验证仿真结果。

本研究的主要目的不是确定一个接收机的灵敏度，而是从几个不同的案例中找到相对敏感性。例如，将FFT长度增加一倍，灵敏度将提高约3 dB。将两个振幅加在一起称为非相干积分，可以提高约2.7 dB的灵敏度[1-3]。这一章将讨论其中的许多主题。

除了检测问题外，相位比较法也将被研究。这种方法对接收机的设计至关重要。它可以提供非常好的频率分辨率，如千赫兹分辨率。为了检测扩频、BPSK和 chirp 信号的特性，相位比较法可以提供码片速率和 chirp 速率(线性调频速率)。如果一个接收机是为接收扩频信号而设计的，因此相位比较法是必不可少的。

在接下来的模拟中，采样频率假设为2.56 GHz。FFT操作的数据长度为64、128和256点。对于多相研究，FFT长度限制在16和32点。输入频率有两个范围:101 ~ 1080，带宽为1080MHz; 140 ~ 1040 MHz，带宽为1000MHz。第一个频率范围是为了测试最宽的频率覆盖范围，第二个频率范围是为了建立一个实用的接收器。对于这两种情况，为方便起见，表6.1列出了总输出频率间隔。FFT输出通道设计为0到N/2。这种表示法与MATLAB表示法不同，因为第一个通道是1而不是0。通道的总数是奇数。

在表6.1中，选择的通道数量略高于所需带宽。例如，64点FFT具有40 MHz的频率分辨率，如列4所示。如果选择27和25个通道，则总频率范围为27 × 40(1080)和25 × 40 (1000MHz)，即需要的频率带宽。由于需要选择略高于所需频率范围的带宽，因此选择次高的数字29和27。

表 6.1 相对于FFT长度和频率范围选择的频率间隔

FFT 长度	16	32	64	128	256
GHz/通道	160	80	40	20	10
101~1,080 (1,080)	-	15 (1–15)	29 (2–30)	57(4–60)	109(10–118)
141~1,040 (1,000)	7(1–7)	13(2–14)	27(3–29)	53(6–58)	101(14–114)

通道数量影响虚警概率。虽然这种影响应该是明显的，但它很少在电子战(EW)接收机设计中讨论。为了通过产生 10−710^{-7}10−7 的虚警概率和 90%90\%90% 的检测概率等传统预期来保持下面的讨论，需要S/N为14 dB。原因是为了检验模拟是否符合理论预测。对通道数量的影响将在第6.10节中讨论。

6.2 从噪声输出中获得瑞利分布

在这个部分中，输入只包含噪声。噪声呈高斯分布，均值为0，标准差为1。目的是用瑞利分布近似FFT输出的振幅并找到一个阈值。该程序是在一个真实的噪声输入信号上执行FFT操作，因为真实数据将用于接收机的设计。取除靠近边缘的频率间隔外的所有频率间隔，以限制输出频率范围。例如，32点FFT产生16个独立输出。只考虑从3到14的频率间隔。输出频率范围小于1000MHz。同样，对于256点FFT，将考虑从17到110的频率间隔。

在接下来的模拟中，采样频率为2.56 GHz, FFT长度在矩形窗口下从32点到1024点之间变化。运行一千次随机噪声。由于每次运行产生许多频率输出，因此使用的数据总数超过1,000点。例如，32点FFT将生成12,000个有用值，256点FFT将生成94,000个值。所选频点的振幅被记录下来，它可以从FFT输出的实部和虚部得到作为
A=Xr2(k)+Xi2(k)(6.1)A = \sqrt {X_r^2(k) + X_i^2(k)} \tag{6.1} A=Xr2(k)+Xi2(k)(6.1)其中 X(k)X(k)X(k) 是第 kkk 个频率的输出，下标 rrr 和 iii 表示FFT输出的实数和虚数。A的分布应为瑞利分布，为
p(r)=rσ2e−r22σ2(6.2)p(r) = \frac{r}{{{\sigma ^2}}}{e^{\frac{{ - {r^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} \tag{6.2} p(r)=σ2re2σ2−r2(6.2)(6.2)式中只有一个常数 σ2{\sigma ^2}σ2，rrr 是一个变量。这个值 σ{\sigma}σ 与均值或标准差有关
σ=mπ/2σ=2v4−π(6.3)\begin{array}{l} \sigma = \frac{m}{{\sqrt {\pi /2} }}\\\\ \sigma = \sqrt {\frac{{2v}}{{4 - \pi }}} \end{array} \tag{6.3} σ=π/2mσ=4−π2v(6.3)其中 mmm 为均值，vvv 为实测噪声分布的方差。由上述模拟得到均值和方差。由这两个关系式得到的 σ\sigmaσ 值非常接近。在本研究中使用的是这两个值的平均值。
当噪声分布近似为瑞利分布时，阈值可设置为虚警概率的函数
thr=−2σ2ln⁡(Pfas)(6.4)thr = \sqrt { - 2{\sigma ^2}\ln ({P_{fas}})} \tag{6.4} thr=−2σ2ln(Pfas)(6.4)其中 PfasP_{fas}Pfas 为虚警概率，可任意设置为10-7。

图6.1显示了256点FFT操作的模拟结果。点“o”是从振幅分布的直方图中得到的。瑞利分布显示为实线。由于来自不同FFT长度的所有噪声振幅都很好地拟合到瑞利分布，因此只显示了噪声分布中的一个(256点)。

图 6.1 用带有阈值的256点数据的瑞利分布拟合噪声分布

不同FFT长度得到的阈值如表6.2所示。

表 6.2 矩形窗10^-7虚警概率阈值

FFT 长度	32	64	128	256	512	1024
门限	22.92	32.07	45.26	64.24	90.66	128.33

在表6.2中，从256点FFT开始计算阈值100次，标准差约为0.35，变化约为0.54%(0.34/64.25)。表6.2中列出的阈值将在稍后的检测概率研究中使用。

对于瑞利分布，这个阈值比噪声高约12dB。阈值 t_dBt\_dBt_dB，单位为dB。

thr_dB=10log⁡(thr21N∑0N−1ni2)(6.5)thr{\__{dB}} = 10\log (\frac{{th{r^2}}}{{\frac{1}{N}\sum\limits_0^{N - 1} {n_i^2} }}) \tag{6.5} thr_dB=10log(N10∑N−1ni2thr2)(6.5)其中 thrthrthr 为计算阈值，NNN 为总噪声分量，nin_ini 为单个噪声分量。如果噪声是一个瑞利分布，阈值可以从式(6.5)通过设置t_dB = 12.1 dB来计算。

6.3 信噪比（S/N）分布

当数据中有输入信号时，输出分布应为莱斯分布如下：
p(r)=rσ2e−r2+A22σ2IO(rAσ2)(6.6)p(r) = \frac{r}{{{\sigma ^2}}}{e^{ - \frac{{{r^2} + {A^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}{I_O}(\frac{{rA}}{{{\sigma ^2}}}) \tag{6.6} p(r)=σ2re−2σ2r2+A2IO(σ2rA)(6.6)其中 AAA 是输入信号的振幅，σ2\sigma ^2σ2 是噪声的方差，rrr 是一个变量，IOI_OIO是修正的零阶贝塞尔函数。

图6.2 绘制了莱斯分布。在这个图中有两个信噪比值：-100 dB(只有噪声)和14 dB。当输入只有噪声时，分布应该表现得像瑞利分布。结果与预期一致。当输入信号增加时，分布有点像高斯分布。在这个图中还提供了一个阈值，它的虚警率为 10−710^{-7}10−7。这个阈值是通过瑞利分布得到的。当S/N为14dB时，概率应该接近90%。这个图可以提供一些关于误报概率和发现概率的概念。当阈值越高，虚警的概率和被检测到的概率都越小。另一方面，当阈值降低时，虚警概率和被检测概率都增加。因此，在给定S/N的情况下，可以得到虚警概率和检测概率的不同组合。

图 6.2 Rician 分布

6.4 检测概率

采样频率为2.56 GHz，256点FFT，频率分辨率为10 MHz。所有的频率，如10，20，30MHz，频率为5、15、25MHz等的频率是两个频率间隔之间的边界。

在本节中，只研究两种输入条件下的检测概率：

 在第一种情况下，输入频率固定在频率间隔的中点。如果输入频率是240MHz，它是所有FFT长度从32、64到1024的最小频率间隔的中点。在第二种情况下，输入频率随机选择在141到1,140 MHz之间，以覆盖1,000 MHz的输入带宽。

对于这两种情况，输入信号的初始相位任意选择为0，并使用表6.1所示的阈值进行检测。对输入数据进行1000次FFT。选择最大输出对应的频点。如果幅值高于阈值，则检测到信号，而不检查频率精度。

矩形窗口下固定频率的结果如图6.3所示。在这张图中，所有曲线之间的距离约为3db。当数据长度增加一倍时，灵敏度正如预想的提高了3 dB。为了简单起见，只讨论128点和256点的FFT结果。对于128点和256点的结果，在-4.3和-7.4 dB处的检测概率约为90%。因为输入是实数，所以Nyquist输入带宽是1280 MHz。经过128和256点FFT操作后，输出带宽分别为20和10 MHz。带宽分别提高了64倍和128倍，分别相当于增益18.1和21.1 dB。输出S/N约为13.7 dB(21.1 - 7.4)和13.8 dB(18.1 - 4.3)，接近需要值14 dB。这个简单的计算确定了实现90%的检测概率和10-7的虚警概率所需的信噪比为14 dB。

图6.4显示了矩形窗口下随机输入频率的检测概率结果。两条相邻曲线之间的间隔也接近3dB。所需输入序列号略高。对于128和256个点，所需输入S/N分别等于-2.8和-5.7 dB，比频率箱上的输入频率高约1.5和1.7 dB。灵敏度降低也是预期结果，因为当输入频率偏离频率箱时，振幅降低。

图 6.4 在141到1140MHz的随机输入频率，虚警概率为10-7下的检测概率与输入S/N的关系。

6.5 Blackman窗的检测概率

在制作接收机时，通常使用加窗来减少频域的旁瓣。在本节中，将对输入数据应用Blackman窗口。检测概率将基于此窗口进行评估。引入窗口也会影响噪声分布和阈值。将生成一组新的阈值。图6.5显示了256个数据点的噪声输出和对应的阈值。不出所料，结果与瑞利分布非常接近。其他数据长度的输出也有类似的结果，没有显示出来。阈值如表6.3所示。

图 6.5 噪声分布由带阈值的256点加窗数据的瑞利分布拟合。
表 6.3 具有Blackman窗口的10-7误报警概率阈值

FFT 长度	32	64	128	256	512	1024
门限	12.42	17.63	25.11	35.18	50.06	70.74

这些值比表6.1中的值低得多。这些值用于计算发现的概率。结果如图6.6所示。对于128点和256点fft, 90%的检测概率的S/N = -1.5和-4.6 dB。与图6.4的结果相比，灵敏度略低于1 dB。

从这个实验中可以看出，通过虚警概率和检测概率可以非常准确地预测接收机灵敏度。对于数字接收机，噪声功率及其分布可以通过模拟来计算，而不是像模拟接收机那样通过示波器来观察

6.6 卷积法的阈值

提高接收机灵敏度的一种方法是通过非相干处理，即将多帧的输出相加。一帧数据被定义为一个FFT长度内的数据。如果脉冲宽度有几帧长，通过输出求和可以提高接收机的灵敏度，这是雷达探测的常用做法。关于这方面的研究有很多[1,2,4]，并通过图表来确定阈值。然而，结果很难使用。阈值可以通过数值积分得到，本节讨论该方法。

不同类型窗口的FFT输出的振幅输出可以认为是瑞利分布。许多振幅加在一起可以用高斯分布近似表示。如果能确定分布，就能找到阈值。然而，如果加入少量的振幅，高斯分布可能不是一个很好的近似。Marcum[4]认为1000个求和可以用高斯函数近似表示。这个结果将通过第6.8节的讨论得到验证。

图 6.6 在Blackman窗口和141至1140 MHz之间的随机输入频率下虚警概率为10-7，检测概率与输入S/N之间的关系

基本方法如下。假设FFT输出为瑞利分布，两个振幅的和相当于两个瑞利函数的卷积。如果求和是n次，瑞利函数将被卷积n次。这个卷积可以通过数值积分来实现。一旦得到了想要的卷积结果，下一步就是寻找阈值。由于卷积结果是数值形式，所以阈值是通过试错得到的。总体方法可以总结如下:

使用FFT输出找到瑞利分布。FFT输出将用于寻找瑞利分布，也用于求和过程。通过第6.2节讨论的方法找到瑞利分布。一个阈值，称为初始阈值，是从瑞利分布计算出来的。仿真结果表明，初始阈值总是小于卷积得到的阈值，即期望阈值。
对得到的瑞利函数进行数值卷积。瑞利函数的长度[或(6.2)中的r值]从0选择到1.2倍的初始阈值。如果(6.2)中的r值不够大，卷积结果会不准确。仿真结果表明，当瑞利函数长度从0到初始阈值范围内时，计算得到的期望阈值基本不变。这意味着选择从0到初始阈值的瑞利值足够长来覆盖大部分信息。从图6.1和图6.5可以进一步说明这个条件。瑞利函数的长度选择为初始阈值的1.2倍，以进一步保证计算结果。数值卷积函数的长度是瑞利函数长度的两倍减1。卷积的次数等于求和的次数。
通过试错来找到阈值。从初始阈值到卷积函数的端点进行数值积分。如果积分结果大于期望的虚警概率(10-7)，则初始点比初始阈值增加0.005，重新进行积分。直到积分结果小于10-7。积分步长选择为0.005，因为它旨在保持阈值上的两个小数点。

二次和四次求和的结果如图6.7和6.8所示。在这些模拟中，为了简单起见，输入数据是由随机数生成器而不是FFT输出生成的。有10000个复杂的输入点。它们的振幅加起来是2倍和4倍。有了这些输入，瑞利分布产生的阈值为5.7，两次和四次总和的阈值为8.5和13.2。图中也显示了阈值。预计总和阈值与瑞利分布的比值可用于实际的接收机设计。

图 6.7 两次求和和卷积输出

图 6.8 四次求和和卷积输出

6.7 高斯近似获得阈值

在本节中，使用高斯分布作为近似来寻找阈值。高斯函数可以写成
p(r)=12πσe−(r−μ)22σ2(6.7)p(r) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - \frac{{{{(r - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} \tag{6.7} p(r)=2πσ1e−2σ2(r−μ)2(6.7)其中 μ\muμ 是均值，σ\sigmaσ 是分布的标准差。一旦找到这两个值，就可以得到高斯分布。为了找出虚警的概率，需要进行积分。高斯函数的积分是误差函数，可以写成
erf=2π∫0re−t2dt(6.8)erf = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_0^r {{e^{ - {t^2}}}dt} \tag{6.8} erf=π2∫0re−t2dt(6.8)由MATLAB程序中的逆互补误差函数erfcinv，可由下式得到高斯分布的虚警概率Pfa{P_{fa}}Pfa。
Pfa=∫th∞pn(x)dx=1−∫−∞ththpn(x)dx(6.9){P_{fa}} = \int_{th}^\infty {{p_n}(x)dx} = 1 - \int_{ - \infty th}^{th} {{p_n}(x)dx} \tag{6.9} Pfa=∫th∞pn(x)dx=1−∫−∞ththpn(x)dx(6.9)其中 Pn(x)P_n(x)Pn(x) 为噪声高斯分布，如(6.7)所示。如果给定 Pfa{P_{fa}}Pfa 的值，则可以发现阈值 ththth 为
th=2erfcinv(2Pfa)σ+m(6.10)th = \sqrt 2 erfcinv(2{P_{fa}})\sigma + m \tag{6.10} th=2erfcinv(2Pfa)σ+m(6.10)如果 Pfa{P_{fa}}Pfa 为 10−710^{-7}10−7，阈值 ththth 可以近似为
th≈m+5.2σ(6.11)th \approx m + 5.2\sigma \tag{6.11} th≈m+5.2σ(6.11)该阈值产生的 Pfa≈0.9964×10−7{P_{fa}}\approx0.9964 \times 10^{-7}Pfa≈0.9964×10−7，略低于期望值。

两个求和的结果如图6.9所示。在这个图中，可以看到数据和高斯分布有轻微的不匹配。

图 6.9 两个求和拟合高斯分布
最后，利用数值积分法和近似高斯分布计算阈值。结果如表6.4所示。为了通过这两种方法获得阈值，使用相同的噪声输入数据。为了得到卷积函数，必须先利用噪声数据得到瑞利分布。为了得到高斯分布，只需要振幅数据的累加。在这些模拟中使用的总和数据的数量是10,000点。例如，对于和8的情况，使用了10,000个和数据。为了获得这些数据点，最初需要8万个点，并使用这8万个点来生成瑞利函数。
在表6.4中，第一列是求和的数量。第二列和第三列是通过卷积和高斯方法得到的阈值。第四列是百分比误差，是两个计算阈值的差除以通过卷积法得到的阈值。表 6.4 用高斯分布和卷积方法计算阈值

求和数	卷积法门限	高斯拟合门限	百分比差异
2	8.54	7.37	13.67
4	13.19	11.88	9.92
8	21.12	19.55	7.43
16	35.18	33.61	4.44
32	61.00	59.41	2.62
64	109.04	107.39	1.51
128	200.75	199.12	0.81

6.8 求和法检测概率

本节将研究带有Blackman窗口的128点FFT的总和结果的检测概率。首先，必须从FFT输出中计算阈值，以噪声作为输入。在前面的章节中，为了节省计算时间，噪声是由一个随机发生器产生的，而没有经过FFT操作。为了找到FFT操作的阈值，对噪声进行Blackman窗化，并对数据执行128点FFT。只使用从9到56的输出频率箱中的数据(比表6.1中列出的数据窄)来确定阈值。每个阈值从1000次运行中获得，每次运行产生48个数据点(9到56)。结果如表6.5所示。

表 6.5 128点FFT输出求和的阈值

求和数	1	2	3	4	5	6
门限	25.11	37.20	48.08	58.33	66.99	75.80

对于求和数1，噪声分布为瑞利分布，使用表6.2中的结果。这些阈值用于测量检测的概率。

对于相同的输入频率，加窗FFT的输出累加为6次。对于每一次运行，都有六个输出:求和1到6。将输出的最大值与阈值进行比较。如果最大值大于阈值，则称为检测到信号。使用随机选择的频率从141到1,140 MHz共1,000次运行来确定检测的概率。输入S/N从-15变为5 dB，结果如图6.10所示。当没有求和时，提供90%检测所需的S/N约为-1.5 dB，与图6.6的结果接近。2加起来，所需S/N约为-4.3 dB，提高约2.8 dB(4.3 1.8)。这也接近2.7 dB的预期改善。进一步的增加会降低增益优势，称为积分损失[1,2]

在所有的检测概率模拟中，S/N在0.5 db步长内变化。如果S/N步长修改为0.1 dB，则运行1000次将无法获得平滑结果。因此，估计该模拟的精度接近0.3 dB，略高于0.5 dB的步长。

6.9 多相滤波方法的阈值和检测概率

本节将研究检测的阈值和概率。方法与上面的方法相同。利用瑞利和卷积求出阈值，然后求出检测概率。第13章将讨论设计接收机的多相滤波器方法。多相滤波器采用16点fft，输入信号包含128点。有8个输出通道，每个通道的带宽为160兆赫。接收器中只使用2到8个输出，因为通道1的输出包含实数输出而不是复数输出。详细设计将在第13章讨论。灵敏度将考虑三种情况：无求和、16点求和和128点求和。当噪声仅作为输入时，从多相输出获得的阈值为1.06、6.56和37.32，对于1、16和128求和。检测概率如图6.11所示。从图中可以看出，在90%的检测概率下，所需的S/N约为4.8、-4.4和-10 dB。

6.10 考虑通道数量的灵敏度计算、讨论和最终调整总结

6.11 相位比较方法

6.12 64-FFT运算结果和振幅比较辅助的相位比较

6.13 创建其他人工输出频率间隔

6.14 多相相比较研究及基本思路

6.15 多相滤波器的相位比较频率测量

6.16 为多相滤波器增加了人工频率箱

6.17 缩短多相滤波器的长、短移时间

6.18 多相滤波器精细频率三种方法的比较

6.19 总结

14.4 利用FFT输出确定BPSK信号的存在性

这种检测基于较长的FFT操作，可能需要特别的努力来实现。检测BPSK信号的第一个要求是检测它的存在，并生成一个指示器。当出现两个连续波(cw)信号时，指示器不应生成报告。换句话说，该方法必须能够区分一个BPSK信号和两个cw信号。如果有两个连续信号导致该指示灯产生报告，则视为虚警。基于这一需求，我们进行了以下研究。

第14.3节中使用的两个芯片时间为20 ns和500 ns的信号将作为输入信号。对于20 ns芯片时间，生成561个数据点，并执行512点FFT。对于500 ns芯片时间的情况，生成14,080个数据点，执行8,192点FFT。选择小于数据长度的窗口长度可以用信号填充窗口。本研究采用Blackman窗来限制频谱输出的宽度。

通常，首先必须获得由噪声确定的阈值。布莱克曼窗的噪声分布仍然是瑞利分布。噪声阈值是从1000次运行中获得的。期望的虚警概率(Pfa)通常为10-7。对于512点FFT，在研究中使用233(256 - 23)输出频率间隔。1000次运行有2.33 x 105个数据点。对于8,192点FFT操作，选择3,897(4,096 - 199)个频率间隔。对于1000次运行，总数据点为3.897 x 100，该值的倒数接近所需的Pfa。

512点和8192点fft的阈值如图14.6和14.7所示，实际阈值分别为46.34和185.64。值得注意的是，图14.7中的阈值非常接近最高数据点。这是合理的，因为总噪声输出的数量接近10-7，与Pfa相反在检测输入信号之前，让我们先来看看带有BPSK信号的512和8192点的输出形状。图14.8显示了输入频率在800mhz时任意选择的结果，只显示峰值附近的频率间隔。在获取输出时，使用Blackman窗口。

值得注意的是，在图14.8(a)中，中心频率库变成了峰值而不是预期的谷。这种现象是由截断Barker代码引起的，而不是Blackman窗口。下面的过程用于确定BPSK信号的存在。FFT将对512个输入数据点执行，并使用Blackman窗口。布莱克曼窗口将限制cw信号的旁瓣。如果FFT输出的最大值超过阈值，则检测到一个信号。旁边的最大输出的九个频率间隔被选择和四个在每边的最大。这九个频率间隔的选择是根据经验确定的。在这九个元素中，将计算最小值与最大值的比值。如果信号是BPSK，比值应该很大，因为频率间隔都相对较高值。选择0.3的经验值作为阈值。如果计算的比值高于阈值，则将其识别为BPSK信号或其他类型的扩频信号。然而，本研究只对BPSK信号感兴趣。如果FFT输出的最大值没有超过第14.3节中获得的阈值46.34，则该比值设为零，信号将不会被检测到。

一个重要的因素是测试这种方法是否将多个连续波信号分类为BPSK。如果这种方法是好的，错误检测的数量将会很低。由于两个信号的组合可以有很多，所以在这个测试中使用的两个信号具有相同的振幅。仿真中使用的S/N与BPSK信号相同。随机选择一个频率，第二个频率在1-MHz步长中比第一个频率低1 ~ 30 MHz。两个频率都限制在141到1140 MHz。在每隔频处选取1,000个随机频率。如果最大频率输出未超过46.34阈值，则将该比值设为零，不视为误检。测试结果如图14.9至14.11所示。在图14.9中，x轴表示两个连续波信号的频率分离(以兆赫为单位)y轴表示信号数和检测到的假信号数。在图14.9 S/N = -5 dB时，BPSK信号的平均检出率为211/ 1000，两个cw信号的误检率为0.13/ 1000。在S/N = 0 dB的图14.10中，BPSK信号的平均检出率为735/ 1000，两个cW信号的误检率为0.13/ 1000。在S/N = 5 dB的图14.11中，BPSK信号的平均检出率为925/ 1000，两个cw信号的误检率为0.067/ 1000。从这三张图中，我们可以看到，在两个cw信号之间不同的频率分离下，误检率保持不变。

当S/N = 10 dB时，BPSK信号的平均检出率为994/ 1000，两个cw信号的误检率为0/ 1000。当信噪比超过15 dB时，通常检测到1000 BPSK，而假信号检测仍然为0。最后两个结果没有以图形方式显示。从这些结果，BPSK信号可以检测到90%以上的检测概率。误检率通常很小，如0.01%。这些结果如表14.1所示。

对于500 ns的芯片时间，BPSK有10480个数据点，但FFT操作只使用了8192个数据点。一个类似的方法被用来检测BPSK信号和两个cw信号。唯一的更改是阈值。最大FFT输出必须高于185.64才能被认为是检测。比率阈值更改为0.05，而不是之前检测中使用的0.3值。为了减少由于FFT运算时间过长所造成的计算时间在每个频率差处选择100个随机频率，而不是1000个。当S/N = 0 dB时，检测到99.9 /100 BPSK信号和3.5个假信号。由于结果与短芯片时间相似，因此没有进一步的研究。