第 1 章之：下三角矩阵元素存储位置计算

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第一章：数据结构与算法基础
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本章重点内容为：
1.数据结构基础与线性表：下三角矩阵元素存储位置计算、队列的特性应用、栈的特性应用
2.广义表：无
3.树：二叉树的特性、二叉树的遍历、哈夫曼树
4.图：边与顶点的关系
5.查找与排序：折半查找、基数排序算法以及这些算法的性能分析
6.算法基础知识：时间复杂度分析
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本篇文章主要介绍下三角矩阵元素存储位置计算。

一. 概念介绍
首先，我们应该明确一点：为什么要计算下三角矩阵的元素存储位置？答案是，这一切都是为了矩阵
的压缩存储。在我们存储矩阵数据时，为了节省存储空间，我们会对下面两种矩阵进行压缩存储：
1.对称矩阵：即以主(副)对角线为界，两边三角区域中元素严格对称的矩阵。
2.三角矩阵：即以主(副)对角线为界，两边三角区域一边为单一元素的矩阵。
例如：

二. 压缩算法
大致思路：
1. 对于对称矩阵，我们可以只存储下三角矩阵的元素和对角线上的元素，然后交换下三角矩阵的横纵
坐标便可以得到下三角矩阵对称区域的元素。
2. 对于三角矩阵，由于上三角区域的元素值都是相同的，我们只存储下三角区域和对角线上的元素即
可，上三角矩阵的元素用一个数值存储就可以。

由上可知，无论是对称矩阵，还是三角矩阵，对它们进行压缩的基础都是如何对下三角区域的矩阵进
行存储(上三角矩阵存储和下三角矩阵相反，故只介绍下三角矩阵存储 )。了解了算法思路以后，我们
来看下三角矩阵到底是如何进行存储的。

三. 下三角矩阵的存储
由于存储单元为线性结构，所以我们将矩阵中的元素以一维数组的形式存储起来。我们以上面的对称
矩阵为例，我们要存储的数据实际上是下面左图中的部分，我们的目的是将左边这部分数据转化成右
边一维数组的形式存储起来：

也就是说，我们要将左边矩阵元素的坐标 [i,j] 转换为右边一维数组元素的坐标[k]，如何转换？通过观
察我们发现：k实际上等于元素(i,j)前面的元素个数，即：
k = (i,j)前面元素的数目
而(i,j)前面元素的数目可以分为两部分来计算：
(1) 元素(i,j)所在行前面所有行元素的数目；
(2) 元素(i,j)所在行中，它前面元素的个数。

下面我们将这两部分分开来计算：
(1) 元素(i,j)所在行前面所有元素的数目：
这部分可以用等差数列来计算：个数 = [(首项+尾项)*项数]/2 = [(1+(i-1))*(i-1)]/2 = i(i-1)/2
解释：首项：显然，首项只有一个元素；尾项：尾项为第(i-1)行元素的个数，由于是n阶矩阵，所
以第(i-1)行元素个数为(i-1)个；项数：一共要把从1到第(i-1)行的元素相加，故项数为(i-1)
(2) 元素(i,j)所在行中，它前面元素的个数:
这个很容易计算，用该元素列坐标减1即可，即: 个数 = (j-1)

将上面两部分相加，便可以得到下三角矩阵元素存储位置：k = i(i-1)/2+j-1, 其中( i >= j )
另外：上三角部分计算方式与下三角部分一致，由于元素对称，直接交换 i ,j 顺序即可。但是要注意
交换的范围：即只有在(i<j)时才需要交换。

总结：
下三角矩阵元素存储位置：
k = i(i-1)/2+j-1，( i >= j )
对称矩阵元素存储位置：
下三角部分：k = i(i-1)/2+j-1，( i >= j )
上三角部分：k = j(j-1)/2+i-1，( i < j )
三角矩阵元素存储位置：
下三角部分：k = i(i-1)/2+j-1，( i >= j )
上三角部分：k = n(1+n)/2，( i < j )
解释：在三角矩阵中，上三角部分元素的值都是相同的，所以只用一个存储位置将其存放在下三角所
有元素之后即可。下三角元素共有 S = (1+n)n/2 个，所以上三角元素占据第 (S+1) 个位置，而一维
数组计数从0开始，所以上三角部分元素的位置为 S = (1+n)n/2

其他类型如上三角矩阵的元素位置计算与下三角矩阵类似，不再赘述，详细可参考下面这篇文章：
数据结构----三角矩阵压缩存储中下标的计算_SWEENEY_HE的博客-CSDN博客_数据结构三角矩阵

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