matlab 最大似然估计二项式分布,统计基础15：最大似然法估计二项式分布参数

前面我们学习了解了最大似然法求解正态分布参数，求解指数分布参数。今天我们再来看看最大似然法如何求解二项式分布参数。

1.二项式分布与似然值估计公式

二项分布基本公式求发生某件事情的概率：

如在人们对两种口味饮料无偏好时，即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5，喜欢葡萄口味的概率p=0.5，那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。计算公式如下：

似然值公式求某件事发生的环境概率：

如7个人中有4个人喜欢香橙口味饮料，在人们对两种口味饮料无偏好时，也就是喜欢两种口味饮料的概率p=0.5，那么p=0.5对应的似然值为0.273。计算公式如下：

二项式分布公式与似然值公式的异同：

相同点：等式左边的写法是一样的；

不同点：

等式右边，“|”右侧的固定条件不同，也就是已知条件不同。在二项式分布公式中，固定条件为人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,其他询问的人数。在似然值公式中，固定的条件是7个人中4个人喜欢香橙口味。“|”左边的变量不同，在二项式公式中，变量是询问人数中共有几人喜欢香橙口味；在似然值公式中，变量是人们喜欢香橙口味饮料的概率。

通过对比，能知道似然值与分布公式的重要意义：似然值公式是通过已发生的事件，推导产生该事件环境的可能性；而分布公式是已知环境，推导该环境下发生某件****事的概率。

2.最大似然法求解二项式分布参数

「二项式分布的似然值：」用似然法估计二项式分布的参数，即我们需要计算不同p值时对应的似然值。

如下方程的含义为：在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算p=0.5时的似然值为0.273；

在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算p=0.25时的似然值为0.058；

在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算p=0.57时的似然值为0.294。

p值的取值范围是[0,1]，将以上二项式分布中的p在[0,1]范围内的似然值绘制成曲线，当曲线达到峰值(斜率为0)时对应的似然值最大。

「因为在似然值曲线的峰值时，该p值对应的似然值最大，故可将其转化成数学问题，求解二项式分布的导数为0时，p的取值。」

为方便求导，将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程：

函数求导并简化方程：

令导数=0，求解p：

当p=4/7=0.57时，取得最大似然值。故得出结论，当人们喜欢香橙口味饮料的概率为0.57时，发生4个人喜欢香橙口味，3个人喜欢葡萄口味的概率最大。

任意情况下，最大似然值估计二项式分布参数

问题：已知任意n个人中，任意x人喜欢香橙口味时，探究该二项式分布中最有可能的p值。

求解方法同前，依次对函数进行对数处理、求导、求解p。最终，得出当p=x/n时，n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大。

为方便求导，将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程：

↓

因不论n与x的取值，当斜率=0(导数=0)时，该处对应的似然值最大。

令导数=0，求解p：

得出结论：得出当p=x/n时，n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大，即n人中x人更喜欢香橙口味发生的概率最大。

小结

通过前面几期的深入学习，使得我们能够更加清楚的了解最大似然值估计法的基本原理，让最大似然法不再陌生。继续加油~~~

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