凌云时刻 · 洞见

导读：美国数学家Jordan Ellenberg曾评价望月新一的证明：“只是看着它们，你就会觉得像是在读一篇来自未来的论文，或者是在读一篇来自外太空的文章。”

作者 | 马超

来源 | 凌云时刻（微信号：linuxpk）

缘起

最近，日本京都大学43岁的数学家望月新一教授，有关abc猜想的证明论文，经过8年的同行评审，终于要在期刊上发表了。不过这还不能是abc猜想能最终被人证明。因为新一教授的论文长达600页，几乎是建立了一整套望月新一宇宙了，笔者抖胆看了一眼其中运用的数学符号，都不是吾等凡人能理解的，干脆直接放弃。

望月新一

这篇论文问世后可谓争议不断，在2019年底波恩大学的彼得·舒尔茨（Peter Scholze）和歌德大学的雅克比·斯提克斯（Jakob Stix）发文称，望月新一有关 abc 猜想的论文中存在“严重的，不可修复的漏洞”，而 abc 猜想是数论中影响最为深远的问题之一。笔者本以为这已经是望月abc证明的最终的判断了，不过从目前最新的进展来看，望月新一可能真的证明了abc猜想。

接下来笔者做为数学和量子物理方面的铁粉，这次就为各位聊一聊abc猜想的看点。

看神仙打架

哥德尔不完备定理：美国奥地利裔数学家哥德尔在1931年提出不完备定理，证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

这一理论使数学甚至哲学基础研究发生了划时代的变化，因为后来人们发现不光是量子物理存在测不准定理，连纯逻辑的数学也存在既不能证真也不能证伪的命题。那么分辨科学与非科学的基石“可证伪”性也有点不那么牢固了。

不过哥德尔定理还是留下了一定的空白，也就是可能存在一种方法来判断一个命题，是否属于既不能证真也不能证伪的。不过这种方法目前也没有找到，其实聊到这里，笔者想说数学方面的重大发现，建议咱们普通的IT人，还是抱着敬畏之心，与学习的态度，看看咱们能从相关的争论中得到什么启示既可，毕竟和自然比起来人类还是太渺小了，甚至还很无知。

abc猜想：为何如此引人关注？

我们知道，目前互联网安全的基石rsa算法，本质上是基于大素数因式分解的数学不可行性而建立的，但是rsa算法与des算法在安全级别上不同，因为des算法可以被严格证明只有通过穷举法破解，但是由于人们对素数的了解还不够，因此类似rsa的非对称数学算法其实可能存在安全漏洞，而且目前还无法被证明其安全性，因此我们才看到我们的rsa证书不断在升位由1024一直到目前主流的2048，不过升位的有效性其实也无法得到证明。而rsa算法对素数性质的假设，造就了两个热门领域。一是量子计算，二是黎曼猜想、abc猜想等有关素数性质的数学研究。

最近量子计算之所以能被上升到量子霸权的高度，其实就是因为量子计算能够快速的解决大素数的因式分解，而最近abc猜想这种纯数学领域方面的新闻也能获得大众关注大抵原因也在于此。因为素数的性质人们还是了解太少了，甚至我们都不知道素数系统是不是一个被哥德尔不完备性所诅咒的系统，好像所有有关素数的定理都是没有结论的，甚至连“1+1=2”的哥德巴赫猜想现在也还是悬案。

丢番图问题和费马大定理

在了解abc猜想之前可以先看看费巴大定理和丢番图问题，他们都是数论中的有关特殊数组的问题。

其中丢番图问题是公元3世纪，古希腊数学家丢番图(Diophantus)提出的。问题简述就是，求4个有理数，使得其中任两个数之积加上1都是一个有理数的平方，这个问题到了17世纪，法国数学家费马找到了一个正整数解1,3,8,120，并且提出新问题，能否有第5个整数增加到这个数集中，使得这个新数集也满足丢番图条件。然后费马又将丢番图问题引申，提出新的问题也就是费马大定理，

即当整数  时，关于  的方程  没有正整数解。

费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

有关abc猜想

在我们详细介绍abc猜想之前，先来说一说整数的根数：  ，其所有不同素因子的乘积为根数，也就是我们先对一个数进行因式分解，然后将不同的因子相乘就得到了根数，记为：  。比如 ：abc猜想（abc conjecture）：  ，仅存在有限多的三元组  满足  是互素正整数，  ，而且 。

简单来说，就是有3个数：  ，  和  ，如果这3个数互质，没有大于  的公共因子，那么将这3个数不重复的质因子相乘得到的  ，看似通常会比  大。

举个例子：

，  ，

这3个数是互质的，那么不重复的因子相乘就有：

。

大家还可以实验几组数，比如：  ，  ，也都满足这个规律。

但是，这只是看起来的规律，居然存在反例。其中一个反例是  ，其中：

，  ，

那么不重复的质因子相乘就是

，  比  要大。

事实上，很容易证明，能找到无穷多的这样反例。

不过我们还是可以挽回颜面猜想，  ”通常“ 不比  “小太多”。怎么叫通常不比  小太多呢？如果我们把  稍微放大一点点，放大成  ，那么虽然还是不能保证大过c，但却足以让反例从无限个变成有限个。

我们知道，当年费马在记录有关费马大定理时一句“空白太小写不下证明”，让这一问题一直拖到1995年才得以解决。

不过假如abc猜想成立，那么我们令  ，

请向右滑动查看完整公式

所以在abc猜想成立的前提下，费马大定理  如果存在正整数解，那么必须有  ，既  。

如果是这样，那么费马还真的有可能在一页纸上证明。

END

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