有趣的马氏链及其平稳分布

备注：参考LDA数学八卦讲述很详细，有需要的可以自行下载

马氏链的数学定义如下：

P(Xt+1=x|Xt,Xt−1,⋯)=P(Xt+1=x|Xt)

假设当前这一代人处在下层、中层、上层的人的比例是概率分布向量 π0=[π0(1),π0(2),π0(3)]，

那么他们的子女的分布比例将是 π1=π0P, 他们的孙子代的分布比例将是 π2=π1P=π0P2, ......,

第n代子孙的收入分布比例将是πn=πn−1P=π0Pn。也就是状态转移的概率只依赖于前一个状态。

假设人的经济状况分为：下层(lower-class)、中层(middle-class)、上层(upper-class)，我们用1,2,3 分别代表这三个阶层。

父代到子代的转移概率如下图所示：如父代是1子代也是1表示父代是下层，子代也是下层概率是0.65，每一行的数据之和为1

python计算第n代的概率如下，经过n代以后上中下层的概率均收敛到一个常数，

p0=[0.21,0.68,0.11]

改变初始值p0=[0.31,0.58,0.11]

通过两次实验收敛于相同的数值，可得马氏链收敛和初始状态无关，仅与转移矩阵有关

第0代： [[ 0.31 0.58 0.11]]
第1代： [[ 0.3017 0.515   0.1833]]
第2代： [[ 0.295351 0.495514 0.209135]]
第3代： [[ 0.29140145 0.48998126 0.21861729]]
第4代： [[ 0.28914221 0.48858207 0.22227572]]
第5代： [[ 0.28790283 0.48832907 0.2237681 ]]
第6代： [[ 0.28723837 0.48834978 0.22441184]]
第7代： [[ 0.28688683 0.48840936 0.22470381]]
第8代： [[ 0.2867023   0.48845596 0.22484174]]
第9代： [[ 0.2866059   0.48848516 0.22490894]]
第10代： [[ 0.28655568 0.48850193 0.22494239]]
第11代： [[ 0.28652957 0.48851114 0.22495929]]
第12代： [[ 0.28651601 0.48851609 0.22496791]]
第13代： [[ 0.28650897 0.48851871 0.22497233]]
第14代： [[ 0.28650531 0.48852008 0.22497461]]
第15代： [[ 0.28650342 0.4885208   0.22497578]]
第16代： [[ 0.28650244 0.48852117 0.22497639]]
第17代： [[ 0.28650193 0.48852137 0.2249767 ]]
第18代： [[ 0.28650166 0.48852147 0.22497687]]
第19代： [[ 0.28650152 0.48852152 0.22497695]]
第20代： [[ 0.28650145 0.48852155 0.224977 ]]
第21代： [[ 0.28650142 0.48852156 0.22497702]]
第22代： [[ 0.2865014   0.48852157 0.22497703]]
第23代： [[ 0.28650139 0.48852158 0.22497704]]
第24代： [[ 0.28650138 0.48852158 0.22497704]]
第25代： [[ 0.28650138 0.48852158 0.22497704]]
第26代： [[ 0.28650138 0.48852158 0.22497704]]
第27代： [[ 0.28650138 0.48852158 0.22497704]]

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