【学习笔记】矩阵运算入门

1. 标量、向量、矩阵和张量
在线性代数中有几个核心概念：标量、向量、矩阵和张量。
（1）标量（Scalar） ：标量其实就是一个独立存在的数，比如实数5就可以看做是一个标量，所以标量的运算相对简单，与平常做的数学算术运算类似。
（2）向量（Vector）：向量指一列按顺序排列的元素，我们通常习惯用括号将这一列元素括起来，其中每个元素都由一个索引值来唯一地确定其在向量中的位置，假设这个向量中的第1个元素是x1x_1x1，它的索引值就是1，第二个元素是x2x_2x2，它的索引值就是2。如下所示是一个由三个元素组成的向量，这个向量的索引值从1到3分别对应了x1,x2,x3x_1,x_2,x_3x1,x2,x3这三个元素：
[x1x2x3]\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}⎣⎡x1x2x3⎦⎤
向量还有一个特性：向量中的不同数字还可以用于表示不同坐标轴上的坐标值。比如，可以把下面这个向量看作三个不同的坐标轴上的坐标值，可以假设2是x轴坐标，3是y轴坐标，8是z轴坐标：
[238]\begin{bmatrix}2\\ 3\\ 8 \end{bmatrix}⎣⎡238⎦⎤
（3）矩阵（Matrix）：矩阵是一个二维数组结构，我们会用括号将其中全部元素括起来。向量的索引值是一维的，而矩阵的索引值是二维的，所以确定矩阵中每个元素的位置时需要两个数字。例如一个三行两列的矩阵：
X=[123456]X=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}X=⎣⎡135246⎦⎤
矩阵中元素3位于第二行第一列，因此3的索引值为“21”，6位于第三行第二列，因此6的索引值为“32”。
（4）张量（Tensor）：若数组的维度超过了二维，我们可以用张量来表示，所以可以把张量理解为高维数组。张量中元素的索引值会随着张量维度的改变而改变。
2. 矩阵的转置
矩阵的转置是矩阵进行相关运算时会采用的一种变换方法。一般情况下通过在矩阵右上角加符号‘T’表示其是一个转置矩阵：XTX^TXT。
我们对原矩阵X中的元素在经过变换后得到的相应转置矩阵做如下定义：(XT)i,j=Xj,i(X^T)_i,_j = X_j,_i(XT)i,j=Xj,i。例如：
X=[123456]X=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}X=⎣⎡135246⎦⎤
则
XT=[135246]X^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}XT=[123456]
实现：

import numpy as np
np.transpose([[1,2],[3,4],[5,6]])
#输出为array([[1,3,5],
#            [2,4,6]])
#方式二：
def transpose(M):# 初始化转置后的矩阵result = []# 获取转置前的行和列row, col = shape(M)# 先对列进行循环for i in range(col):# 外层循环的容器item = [] # 在列循环的内部进行行的循环for index in range(row):item.append(M[index][i])result.append(item)return result

3.常见矩阵运算

from numpy import *;
a1=array([1,2,3]);
a1=mat(a1);#创建常见矩阵data1=mat(zeros((3,3)));
#创建一个3*3的零矩阵，矩阵这里zeros函数的参数是一个tuple类型(3,3)
data2=mat(ones((2,4)));
#创建一个2*4的1矩阵，默认是浮点型的数据，如果需要时int类型，可以使用dtype=int
data3=mat(random.rand(2,2));
#这里的random模块使用的是numpy中的random模块，random.rand(2,2)创建的是一个二维数组，需要将其转换成#matrix
data4=mat(random.randint(10,size=(3,3)));
#生成一个3*3的0-10之间的随机整数矩阵，如果需要指定下界则可以多加一个参数
data5=mat(random.randint(2,8,size=(2,5));
#产生一个2-8之间的随机整数矩阵
data6=mat(eye(2,2,dtype=int));
#产生一个2*2的对角矩阵a1=[1,2,3];
a2=mat(diag(a1));
#生成一个对角线为1、2、3的对角矩阵#矩阵相乘
a1=mat([1,2]);
a2=mat([[1],[2]]);
a3=a1*a2;
#1*2的矩阵乘以2*1的矩阵，得到1*1的矩阵#矩阵点乘
a1=mat([1,1]);
a2=mat([2,2]);
a3=multiply(a1,a2);a1=mat([2,2]);
a2=a1*2;
#矩阵对应元素相乘#求逆和转置
a1=mat(eye(2,2)*0.5);
a2=a1.I;
#求矩阵matrix([[0.5,0],[0,0.5]])的逆矩阵
a1=mat([[1,1],[0,0]]);
a2=a1.T;
#转置#计算每一行每一列的和
a2=a1.sum(axis=0);//列和，这里得到的是1*2的矩阵
a3=a1.sum(axis=1);//行和，这里得到的是3*1的矩阵
a4=sum(a1[1,:]);//计算第一行所有列的和，这里得到的是一个数值a1.max();//计算a1矩阵中所有元素的最大值,这里得到的结果是一个数值
a2=max(a1[:,1]);//计算第二列的最大值，这里得到的是一个1*1的矩阵
a1[1,:].max();//计算第二行的最大值，这里得到的是一个一个数值np.max(a1,0);//计算所有列的最大值，这里使用的是numpy中的max函数
np.max(a1,1);//计算所有行的最大值，这里得到是一个矩阵np.argmax(a1,0);//计算所有列的最大值对应在该列中的索引
np.argmax(a1[1,:]);//计算第二行中最大值对应在改行的索引#矩阵分割
a=mat(ones((3,3)));
b=a[1:,1:];//分割出第二行以后的行和第二列以后的列的所有元素
#矩阵合并
a=mat(ones((2,2)));
b=mat(eye(2));
c=vstack((a,b));//按列合并，即增加行数
d=hstack((a,b));//按行合并，即行数不变，扩展列数#矩阵、列表、数组变换
l1=[[1],'hello',3];a=array([[2],[1]]);
dimension=a.ndim;
m,n=a.shape;
number=a.size;//元素总个数
str=a.dtype;//元素的类型a1=[[1,2],[3,2],[5,2]];//列表
a2=array(a1);//将列表转换成二维数组
a3=array(a1);//将列表转化成矩阵
a4=array(a3);//将矩阵转换成数组
a5=a3.tolist();//将矩阵转换成列表
a6=a2.tolist();//将数组转换成列表a1=[1,2,3];
a2=array(a1);
a3=mat(a1);
a4=a2.tolist();//这里得到的是[1,2,3]
a5=a3.tolist();//这里得到的是[[1,2,3]]
a6=(a4 == a5);//a6=False
a7=(a4 is a5[0]);//a7=True,a5[0]=[1,2,3]

参考链接：https://blog.csdn.net/taxueguilai1992/article/details/46581861

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