【大话算法导论】从SAT规约到3SAT

今天看了网上很多SAT问题规约到3SAT，虽然写的不错，但是过于理论。其实我看到已知半解。

后来无意中发现一个解释这个规约，简单易懂，特此记录。

定义：
首先给出一个比较直观的定义：
假设现在有这么个问题：过年了，正打算烧年夜饭，家里每个人都可以说说自己想吃啥不想吃啥。小C说他要吃牛肉、不吃香菇、不吃内脏，小D说他要吃内脏、吃蔬菜、不吃牛肉。但毕竟众口难调、不一定所有愿望都能实现。因而只要每个人有一个愿望实现，这顿年夜饭就算非常成功了。所以现在问题来了，有没有一桌年夜饭可以让所有人都至少有一个愿望被实现呢？

这就是个很典型的SAT问题

所谓子句（Clause）就是每个人的愿望清单，比如小c说他要吃牛肉、不吃香菇、不吃内脏，“要吃牛肉、不吃香菇、不吃内脏” 就是一个子句。

所谓文字（Literal）就是一个愿望，比如“要吃牛肉”，“不吃香菇”都是所谓的文字。

所谓命题变元（Variable）就是指这个菜会不会出现在餐桌上。

3-CNF formula
包含一堆子句(Clause)，这一堆子句每个都包含3个文字(Literal),每个literal表示命题变元集中一个布尔变量（Variable）或它的否定形式

3-SAT问题就是判定一个 3-CNF formula 是不是被满足。

3-CNF formula 被满足当且仅当每个 clause 都被满足

clause 被满足当且仅当 clause中至少有一个literal被满足

literal被满足当且仅当这个literal所指向的Variable能使得这个literal为TRUE

所以3-SAT formula的自变量就是literal里面出现的这些variable。

3-SAT问题就是问你能不能给这些变量赋上合适的值使得这个formula被满足。

此时，我们再来看下面理论表达，

X就是fomular，C就是clause， C 1 , . . . , C m C_1,...,C_m C1,...,Cm就是Literal， z 1 , . . . , z k z_1,...,z_k z1,...,zk就是Variable。
这样实例话后，问题就很容易明白了。

先陈述下问题，把文字 C i C_i Ci转化为变量 z , y z,y z,y表示的 C i ′ C_{i}^{'} Ci′。
然后陈述SAT和3SAT的关系：

C i ′ C_{i}^{'} Ci′的证明说明了SAT和3SAT都有解。即A可规约到B。

一些性质：

对于之前的那个年夜饭问题，如果发现餐桌上有牛肉那么小C的第一个愿望就被满足了而同时小D的第三个愿望没被满足，如果发现餐桌上有内脏，那么小C的第三个愿望就没被满足，与此同时小D的第一个愿望就被满足了。所以其实一个variable的变化可能会影响到好几个literal，从而影响好几个clause是否被满足。而同时一个clause也可以被其中任意一个literal所影响，也就是说有不止一个variable可以影响到一个clause。

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