火车票余票问题的算法解析

作者： Phill King

原创文章，转载请注明出处。

我们每次购买火车票，在查询的时候都可以及时的看到余票数。这个余票数是怎么计算出来的？有没有好的算法可以很快的计算出余票数目。本文对这个问题做了详细的分析，并给出了具体的代码。

声明：

本文详细分析了火车票的余票的算法，不考虑现实中一列火车包含不同等级座位和站票，以及预分配等情况，采用一个简化的模型来做基本分析。最后用一个高效率的算法来获取所有站点的余票数。

本文和12306无关。

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火车票余票问题的描述：

假设有一列火车，一共有M个座位，沿途经过S个站点。在出售一定数量的车票后，求该火车在沿途各站点的余票数。

首先我们对购票的情况和余票的关系做一个分析。

以M=5个座位, S=6站为例

该表中的列代表所购票对应的站点段，一共有6站，对应的站点段数为5. 用户购买某张票如(3-6)站，即意味者占用了(3-4),(4-5),(5-6)的站点段。

该表中的行代表了座位号，对应购票时的座位。下文的总票数即为总的座位数。

对于(1-2)段来说，余票数就是总票数减去被占用的座位数。示例中是 5-2 = 3;

对于(1-3)段来说，余票数就是总票数减去 (1-2) ∪ （2-3）的占用座位数。示例中是 5-3 = 2;

对于(2-4)段来说, 余票数就是总票数减去 (2-3) ∪ （3-4）的占用座位数。示例中是 5-4 = 1;

...

对应的余票表：

（行表头对应出发站，列表头对应抵达站）

因为余票即为总票数减去占用座位数，下面我们用更直观的占用座位表格来分析。

座位占用表: ( Si代表从i到i+1站的座位占用集合)

我们可以看到对于某两站的座位占用集合有相应的规律，如

S(1-3) = S1 ∪ S2;

S(2-5) = S2 ∪ S3 U S4

S(i-j) = Si ∪ S(i+1) ... ∪ S(j-1)

我们可以根据座位占用的情况推导出余票计算的公式：

对于某两站i,j的余票计算可推出公式：

T(i,j) = 总票数 – (Si ∪ S(i+1) ∪ … ∪ S(j -1))

或者 T(i,j) = 总票数 – (S左 ∪ S下)

测试代码采用stl的Set来存储座位号，在100个站点和1000个座位下，更新购买2000张票计算整张余票表大约需要0.8秒。

可以看出性能不够理想。

性能优化:

由于集合运算比较耗时，我们考虑用位图法提升效率。

如果某个座位被出售，既标识相应的位(bit)为1.

比如(1-2)段的2座和5座已售，则可以用10010来表示。

假设火车共有1000个座位，如果用64位整数代表，则只需大小为 1000/64 +1 = 16的数组即可表示。

uint64_t seat[16]

每两个站点之间的座位占用情况都需要一个数组来存储。一个数组的大小为128bytes。

这样计算集合只需要做或运算。大大提高效率。

用bit来表示购票的座位占用情况：

(1-2)站，座位的分布对应的值是二进制 10010

(2-3)站，座位的分布对应的值是二进制 10110

(3-4)站，座位的分布对应的值是二进制 10111

(4-5)站，座位的分布对应的值是二进制 01011

(5-6)站，座位的分布对应的值是二进制 01101

(1-3)站，座位的分布对应的值是二进制 10010 | 10110 = 10110 。占用的座位数是3，所以余票数是5-3= 2

以此类推

对应的余票计算公式：

每站对应的座位占用用一组64位整形数组表示，设为Bi

某两站i,j的余票数T(i,j) = 总票数 – Bi|B(i+1) | B(j-1) 中1的个数。

座位占用示意表:

采用位图(bitmap）法，运行效率提高很多，同时占用的内存空间也大大降低。

在100个站点，1000个座位的情况下测试更新购买2000张票之后的余票表格只需要5毫秒。

如果只是计算某两个站点的余票数更是只需要几微秒。

算法复杂度分析:

设购票数为T, 站点数为S, 时间复杂度为 T*S + S*(S+1)/2. 因为S是固定的，所以时间复杂度是O(N)

T*S的部分是更新购票信息，如果单独计算更新余票的时间复杂度，则为O（1）；

空间复杂度：

设总座位数为M, 每两个站点的售票信息占用M/64*8 bytes. 整个个余票表占用M/8 * S(S+1)/2 bytes空间。

结合实际情况的一些测试数据（在本人的机器上）：

50个站点，1000个座位的火车，批量更新2000张票，共耗时1.2毫秒。任意两个站点的座位占用数据可以压缩到大小为16的64位整形数组里，占用空间为128bytes。整张表格的占用空间为128*50*49/2 = 154k bytes.

所以火车票更新余票按照此算法从时间和空间上分析，是非常快和省空间的。

最后是示例代码：

#include <vector>
#include <iostream>
#include <unordered_set>
#include <iomanip>
#include <chrono>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <set>
#include <fstream>using namespace std;#define BITS_WIDTH 64const int MAX_STATION = 100;
const int TOTAL_SEAT = 1000; // 总座位数，即每一站的总票数struct ticket_info
{int start = -1;int end = -1;int number = -1;
};typedef struct seat_type
{uint64_t & operator[](int i){return seat[i];};uint64_t seat[32] = {0};int get_bits(uint64_t n){int bits=0;while(n>0){n= n&(n-1);bits++;}return bits;}int get_count(){int count = 0;for(int i=0; i<32;i++)count += get_bits(seat[i]);return count;}}seat_type;class ticket_box
{std::vector< std::vector<seat_type> > tickets_count;const int ticket_total = TOTAL_SEAT ;const int station_number = MAX_STATION;
public://逐票更新int buy_ticket(ticket_info& new_ticket){int start = new_ticket.start;int end = new_ticket.end ;int number = new_ticket.number;int base = number/BITS_WIDTH;int offset = number%BITS_WIDTH;uint64_t update_bit = 1<<offset;for(int i=0; i<=start; i++)for(int j=start;j<station_number;j++){tickets_count[i][j][base] |= update_bit;}for(int i=start+1;i<=end;i++)for(int j=i;j<station_number;j++){tickets_count[i][j][base] |= update_bit;}return 0;}//批量更新余票int buy_tickets(std::vector<ticket_info>& tickets){for(auto ticket:tickets){int base = ticket.number/BITS_WIDTH;int offset = ticket.number%BITS_WIDTH;uint64_t update_bit = 1<<offset;for(int i=ticket.start; i<=ticket.end;i++){tickets_count[i][i][base] |= update_bit;}}for(int i=0; i<station_number-1; i++)for(int j=i+1, index=1; j<station_number; j++){for(int k=0; k<32; k++){tickets_count[i][j][k] = tickets_count[i][j-1][k] | tickets_count[i+index][j][k];}index++;}return 0;}//输出余票int output_remain_tickets(){std::cout<<std::setw(4)<<" ";for(int i=0; i< station_number; i++){std::cout<<std::setw(4)<<i+2<<" ";}std::cout<<endl;for(int i=0; i< station_number; i++){std::cout<<std::setw(4)<<"-----";}std::cout<<endl;for(int i=0; i< station_number&&i<12; i++){std::cout<<std::setw(3)<<i+1<<" ";for(int k=0; k<i; k++){std::cout<<std::setw(4)<<"     ";}for(int j=i; j<station_number&&j<12; j++){std::cout<<std::setw(4)<<TOTAL_SEAT - tickets_count[i][j].get_count()<<" ";}std::cout<<endl;}return 0;}};

以下给出一个test case和对应的输出

此case中站点数为12，总座位数为1000。

（起始站，终点站，座位号）
7,10,1
10,12,1
3,6,2
6,8,2
2,4,3
4,6,3
1,5,4
5,8,4
2,4,5
4,5,5
8,9,6
4,6,7
6,7,7
5,7,8
7,9,8
10,11,9
1,3,10
3,4,102    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12
-------------------------------------------------------1  998  996  995  994  993  993  992  991  991  990  990 2       996  995  994  993  993  992  991  991  990  990 3            995  994  993  993  992  991  991  990  990 4                 995  994  994  993  992  992  991  991 5                      995  995  994  993  993  992  992 6                           996  995  994  994  993  993 7                                996  995  995  994  994 8                                     997  997  996  996 9                                          999  998  998 10                                               998  998 11                                                    999

本文考虑了有座位号的余票计算，可以涵盖不同类型有座位号的余票更新，比如卧铺，一等座，二等座等。但是对于站票等没有座位号的情况，余票计算的方式会略有不同。如果用户购买的是没有座位的站票，购票只有出发站和到达站的信息，相应的余票应该如何计算呢？这个简单的问题就留给读者思考吧。

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