常见积分和导数的推导

导数：

1.y=arcsinxy=arcsinxy=arcsinx的导数：
y=arcsin⁡x→x=sin⁡y→1=y′cos⁡y→y′=1cos⁡y→y′=11−x2\\y=\arcsin x\\ \rightarrow x=\sin y\\ \rightarrow 1={y}'\cos y\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{\cos y}\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}y=arcsinx→x=siny→1=y′cosy→y′=cosy1→y′=1−x21
2.y=arctanxy=arctanxy=arctanx的导数：
y=arctan⁡x→x=tan⁡y→1=y′cos⁡2y→y′=cos⁡2y→y′=11+x2\\y=\arctan x\\ \rightarrow x=\tan y\\ \rightarrow 1=\frac{{y}'}{\cos^{2}y}\\ \rightarrow {y}'=\cos^{2}y\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{1+x^{2}}y=arctanx→x=tany→1=cos2yy′→y′=cos2y→y′=1+x21

下面都是同理，原理是隐函数求导。

y=arccosxy=arccosxy=arccosx的导数
y=arccotxy=arccotxy=arccotx的导数
y=arcsecxy=arcsecxy=arcsecx的导数
y=arccscxy=arccscxy=arccscx的导数

三角函数的导数、等式、相互的转换关系，可以看之前写的

积分：

1.∫dxa2−x2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}} } ∫a2−x2dx

2.∫dxx2−a2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} }∫x2−a2dx

在math.stackexchange里面看到了一个相当NB的解答，这种解法同样可以求∫dxx2+a2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} }∫x2+a2dx

3.∫dxx2+a2{\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} }∫x2+a2dx
解法同上，只有y的值改变了，其他都不变。

4.∫sec⁡xdx{\color{DarkBlue}\int \sec xdx }∫secxdx

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常见积分和导数的推导

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