机器学习和深度学习中，梯度是一个很重要的概念。在大部分机器学习优化问题中都可以通过梯度下降法处理。要介绍梯度就必须了解导数（derivative），偏导数（partial derivative）和方向导数（directional derivative）。

这些概念在高等数学中都有介绍，也可以参考百度和维基百科，这里我们就只做简单回忆：

导数

导数反映函数 $y=f(x)%u5728$ 在某点处沿x轴正方向的变化率，可以理解为，如果某点导数大于0，则该点沿x轴正方向递增，如果某点小于0，则递减。

偏导数

导数和偏导数性质一致，但偏导数指多元函数中函数在某点沿坐标轴（x1，x2，xn）正方向变化率。也可以理解为，导数是自变量只有一个时的函数沿正方向变化率，而偏导数则是函数自变量大于一个时，每个自变量的变化率。

方向导数

导数和偏导数的定义中，都是沿坐标轴正方向讨论函数变化率，而方向导数则是：函数上某点沿某一方向上的导数值（方向可选择）。

梯度

那么引出梯度的定义：

函数在某点梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模则为方向导数的最大值。可以理解为梯度是函数在某点最大的方向导数，函数沿梯度方向有最大的变化率。

梯度的求法也很简单，对于函数 $Z=F(X,Y)$ 只要在已知点求出X方向偏导数和Y方向偏导数，再取两方向偏导数和就可以。

梯度算子

图像的梯度计算可以通过使用不同的梯度算子实现，具体实现的过程是通过用梯度算子进行卷积运算的到，不了解卷积的同学可以自行百度。。。

这里介绍几种常用的梯度算子：

Roberts交叉梯度算子

Roberts交叉梯度算子（Roberts Cross Edge Detector）很好理解，就是对目标进行一个2*2的卷积核的卷积计算。卷积核有两个，分别用来计算垂直方向和水平方向，卷积核如下所示：

梯度幅值可以表示为：

$\left | G \right | = \sqrt{{G_{x}}^{2}+{G_{y}}^{2}}$

为了方便计算，也可以这样计算：

梯度角度则可以表示为：

$\alpha (x.y)=arctan[\frac{G_y}{G_x}]$

Sobel算子

Sobel梯度算子（Sobel Edge Detector）和Roberts算子类似，只不过引用了两个3*3的卷积核，分别用来计算垂直方向和水平方向，卷积核如下所示：

梯度幅值和梯度角度也可以通过上面介绍的式子求得

Sobel算子计算速度较慢于Roberts算子，但3*3的卷积核在更大程度上平滑了输入图像，使得图像对噪声的敏感性降低。

Prewitt算子

Prewitt算子与Sobel算子类似，卷积核如下所示：

Laplace算子

以上介绍的Roberts算子，Sobel算子和Prewitt算子都是一阶算子，而Laplace属于二阶算子。Laplace算子对噪声敏感，所以一般在降噪后的图像上使用。卷积核如下所示：

由于一阶算子的原理是计算目标点的一阶导数，由导数定义可知，x点导数可通过以下公式计算：

$\frac{\partial f}{\partial x} = f^{'}(x) = f(x+1)-f(x)$

那么二阶算子则是计算目标点的二阶导数，可通过以下公式计算：

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial f^{'}(x)}{\partial x} = f^{'}(x+1)-f^{'}(x)$

$=f(x+2)-f(x+1)-f(x+1)+f(x)$

$=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$

这也等同于(上式变量减1)：

$f(x+1)+f(x-1)-2f(x)$

在图像中就可以表示为：

$f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$

这就是上图第一个Laplace算子的由来。为了让该算子在45度方向上也有方向性，对该算子进行扩展得到上图第二个Laplace算子。

上述算子也可用于图像的边缘检测，边缘检测和检测算子及优缺点将在接下来的文章中介绍。

参考：

https://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864?ops_request_misc=%25257B%252522request%25255Fid%252522%25253A%252522160885544016780296812509%252522%25252C%252522scm%252522%25253A%25252220140713.130102334..%252522%25257D&request_id=160885544016780296812509&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~baidu_landing_v2~default-6-50978864.first_rank_v2_pc_rank_v29&utm_term=%E6%A2%AF%E5%BA%A6

https://blog.csdn.net/qq_18815817/article/details/78625845?ops_request_misc=%25257B%252522request%25255Fid%252522%25253A%252522160902977216780266269292%252522%25252C%252522scm%252522%25253A%25252220140713.130102334..%252522%25257D&request_id=160902977216780266269292&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~sobaiduend~default-4-78625845.first_rank_v2_pc_rank_v29&utm_term=%E6%A2%AF%E5%BA%A6%E7%AE%97%E5%AD%90

https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/log.htm

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