这里告诉你如何计算算法的时间复杂度(大O阶)
前言
该文章已经进行了一次排版的优化。
关于时间复杂度
在计算机科学中,算法的时间复杂度(Time complexity)是一个函数,它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述,不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时,时间复杂度可被称为是渐近的,亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。例如,如果一个算法对于任何大小为 n (必须比
n0
大)的输入,它至多需要5n3 + 3n
的时间运行完毕,那么它的渐近时间复杂度是O(n3)
。源自:wikipedia
为了计算时间复杂度,我们通常会估计算法的操作单元数量,每个单元运行的时间都是相同的。因此,总运行时间和算法的操作单元数量最多相差一个常量系数。
Step:
- 用常数1替代语句频度中所有的加法项;
- 在1 的结果中,只保留数的最高项;
- 最高阶项若系数不为1,则去除系数(或是改为1)。
如果你没看懂,那继续往下看,笔者以例子与你详细介绍。
例子1
for(int sum=0,i = 0;i < N;i++) //1、for(int j = 0;j <N;j++) //2、sum=sum+i*j; //3、
我们以一个语句记为1次,来:
1行这里定义两个变量共一次,而中间循环,理论是判断是
N
次,但是实际上应该是N+1
,最后等于N
时还有判断1
次 即0~N
,故为N+1
,循环变量的递增一共是N
次,其语句频度为:
O 1 = 1 + ( N + 1 ) + N (1.1) O_1=1+(N+1)+N \tag{1.1} O1=1+(N+1)+N(1.1)2行这里第一个循环进入第二个循环,一共是
N
次,那么将会定义N
次。单独分析判断语句它将会像第一层循环一样,一个判断N
次,再算上第一次循环进入第二次循环共有N
次, 故为N * (N+1)
,后面类似N*N
,其语句频度为:
O 2 = N + N ∗ ( N + 1 ) + N ∗ N (1.2) O_2=N+N*(N+1)+N*N\tag{1.2} O2=N+N∗(N+1)+N∗N(1.2)第二层循环进入最里面语句
N
次,第一层循环进入第二层循环共N
次,故实际为N * N
次。其语句频度为:
O 3 = N ∗ N (1.3) O_3=N*N\tag{1.3} O3=N∗N(1.3)那么将上述的(1.1)、(1.2)、(1.3) 式子求和一下,就得这个程序的总的语句频次,并保留最高项数
N * N
,就得到了该程序的算法时间复杂度。
O ( N 2 ) = O 1 + O 2 + O 3 (1.4) O(N^2)=O_1+O_2+O_3\tag{1.4} O(N2)=O1+O2+O3(1.4)
例子2
int j = 0;
for(int sum = 0,i = 1;i < N;i = i*2) //1、sum = sum+i*j; //2、
看到这程序片段,你是不是一眼就得出答案了?如果你不注意的话,你的答案肯定是O(N)
,对了吗?
先告诉你答案为O(log(N))
不是这个答案的,你可以试试代个确切的N值进去 看一下次数,自己体会一下,那么下面我和大家一起分析下:
注释1的语句频度为:
O 1 = 1 + l o g 2 N + 1 + l o g 2 N (2.1) O_1=1+log_2{N}+1+log_2{N}\tag{2.1} O1=1+log2N+1+log2N(2.1)注释2的语句频度为:
O 2 = l o g 2 N (2.2) O2=log_2{N}\tag{2.2} O2=log2N(2.2)总的算法时间复杂度为:
O ( l o g 2 N ) = O 1 + O 2 (2.3) O(log_2{N})=O_1+O_2\tag{2.3} O(log2N)=O1+O2(2.3)
其实这里做判断的时候,应该看一下循环变量的递增方式,这里它是i=i*2
也就是 2^x=N
,那么X=log2(N)
,x
就是次数,在计算复杂度里面,一般省略底数,也就是直接写log(N)
,其他的计算方法与上面的解释一致。
例子3
for(int sum=0,i = 0;i<N;i++) //1、for(int j = 1;j < N;j = j*2) //2、sum=sum+i*j; //3、
答案分析:
注释1的语句频度为:
O 1 = 1 + N + 1 + N (3.1) O_1=1+N+1+N\tag{3.1} O1=1+N+1+N(3.1)注释2的语句频度为:
O 2 = N + N ∗ ( l o g 2 N + 1 ) + N ∗ l o g 2 N (3.2) O_2=N+N*(log_2{N}+1)+N*log_2{N}\tag{3.2} O2=N+N∗(log2N+1)+N∗log2N(3.2)注释3的语句频度为:
O 3 = N ∗ l o g 2 N (3.3) O_3=N*log_2{N}\tag{3.3} O3=N∗log2N(3.3)总的算法时间复杂度为:
O ( N ∗ l o g 2 N ) = O 1 + O 2 + O 3 O(N*log_2{N})=O_1+O_2+O_3 O(N∗log2N)=O1+O2+O3
如果你认真仔细地边看边思考,那么我相信你应该是能够理解如何去计算时间复杂度了,那么任何程序相信在你们自己的简单化下,应该都能分出它们的大致大O阶。
那么,关于算法的时间复杂度就描述到这里。谢谢你的浏览,如果你喜欢的话,记得点个赞。
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