凸集的定义与常见凸集

通常认为，如果某个实际问题可以表述为凸优化问题，那么事实上已经解决了这个问题，然而凸优化问题的识别还比较困难，本文将先介绍凸集的定义与常见凸集。

仿射集

如果集合 C⊆Rn C ⊆ R n C\subseteq R^{n} 是仿射的，等价于：对于任意的 x1,x2∈C x 1 , x 2 ∈ C x_{1},x_{2}\in C 及 θ∈R θ ∈ R \theta \in R 有 θx1+(1−θ)x2∈C θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C \theta x_{1}+(1-\theta)x_{2}\in C ，即 C C C 包含了 C" role="presentation" style="position: relative;">CCC 中任意两点的系数之和为1的线性组合。

将其扩展到多个点的情况：如果 θ1+θ2+...+θk=1 θ 1 + θ 2 + . . . + θ k = 1 \theta_{1}+\theta_{2}+...+\theta_{k}=1 ，我们则称具有 θ1x1+θ2x2+...+θkxk θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ k x k \theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}+...+\theta_{k}x_{k} 形式的点为 x1,x2,...,xk x 1 , x 2 , . . . , x k x_{1},x_{2},...,x_{k} 的仿射组合。例如线性方程组的解集 C={x|Ax=b} C = { x | A x = b } C=\{x|Ax=b\}是一个仿射集。

称由集合 C⊆Rn C ⊆ R n C\subseteq R^{n} 中点的所有仿射组合所组成的集合为 C C C 的仿射包：

aff C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+θ2+...+θk=1}" role="presentation">aff C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+θ2+...+θk=1}aff C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+θ2+...+θk=1}

\mathrm{aff}\ C=\{\theta_{1}x_{1}+...+\theta_{k}x_{k}|x_{1},...,x_{k}\in C,\theta_{1}+\theta_{2}+...+\theta_{k}=1\}

仿射包是包含 C C C 的最小的仿射集合，即如果集合 S" role="presentation" style="position: relative;">SSS 满足 C⊆S C ⊆ S C\subseteq S，则 aff C⊆S a f f C ⊆ S \mathrm{aff}\ C\subseteq S ，同时将集合 C C C 的仿射维数定义为其仿射包的维数。例如 R2" role="presentation" style="position: relative;">R2R2R^{2} 上的单位圆环的维数为1，但其仿射维数为2，因为其仿射包为全空间 R2 R 2 R^{2}

凸集

如果集合 C C C 为凸集，那么对于任意的 x1,x2∈C" role="presentation" style="position: relative;">x1,x2∈Cx1,x2∈Cx_{1},x_{2}\in C 与 0≤θ≤1 0 ≤ θ ≤ 1 0\le \theta\le 1都有 θx1+(1−θ)x2∈C θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C \theta x_{1}+(1-\theta)x_{2}\in C，与仿射集的区别在于仿射集并没有 θ≥0 θ ≥ 0 \theta\ge0 的要求，例如一条线段是凸集，而一条直线是仿射集。

扩展到多维的情况，如果有 θ1+θ2+...+θk=1,θi≥0 θ 1 + θ 2 + . . . + θ k = 1 , θ i ≥ 0 \theta_{1}+\theta_{2}+...+\theta_{k}=1,\theta_{i}\ge0 ，则称具有 θ1x1+θ2x2+...+θkxk θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ k x k \theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}+...+\theta_{k}x_{k} 形式的点为 x1,x2,...,xk x 1 , x 2 , . . . , x k x_{1},x_{2},...,x_{k} 的凸组合。

称由集合 C⊆Rn C ⊆ R n C\subseteq R^{n} 中点的所有凸组合所组成的集合为 C C C 的凸包：

conv C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+...+θk=1,θi≥0" role="presentation">conv C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+...+θk=1,θi≥0conv C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+...+θk=1,θi≥0

\mathrm{conv}\ C=\{\theta_{1}x_{1}+...+\theta_{k}x_{k}|x_{1},...,x_{k}\in C,\theta_{1}+...+\theta_{k}=1,\theta_{i}\ge0\}

与仿射包同样，凸包也是包含 C C C 的最小的凸集，在一般情况下，设 C∈Rn" role="presentation" style="position: relative;">C∈RnC∈RnC\in R^{n} 是凸集， x x x 是随机变量，并且 x∈C" role="presentation" style="position: relative;">x∈Cx∈Cx\in C 的概率为1，那么 E x∈C E x ∈ C E\ x\in C

一些重要的凸集

识别出凸集对于识别凸优化问题较为重要，这里将介绍一些比较重要的凸集。

任意的仿射集和子空间都是凸集，一些比较简单的例如空集 ∅ ∅ \emptyset ，单点集 {x0 { x 0 \{x_{0}\}，全空间 Rn R n R^{n} ，直线/射线/线段都是凸的。

还有一些比较重要的凸集如下：

超平面 {x|aTx=b { x | a T x = b \{x|a^{T}x=b \}和半空间 {x|aTx≤b { x | a T x ≤ b \{x|a^{T}x\le b\}
Euclid球 B(xc,r)={x| ||x−xc||2≤r B ( x c , r ) = { x | | | x − x c | | 2 ≤ r B(x_{c},r)=\{x|\ ||x-x_{c}||_{2}\le r\}
椭球 ξ={x|(x−xc)TP−1(x−xc)≤1 ξ = { x | ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) ≤ 1 \xi=\{x|(x-x_{c})^{T}P^{-1}(x-x_{c})\le1\}
范数球 {x| ||x−xc||≤r { x | | | x − x c | | ≤ r \{x|\ ||x-x_{c}||\le r\}，其中 ||⋅|| | | ⋅ | | ||\cdot|| 是 Rn R n R^{n} 中的范数
范数锥 C={(x,t)| ||x||≤t⊆Rn+1 C = { ( x , t ) | | | x | | ≤ t ⊆ R n + 1 C=\{(x,t)|\ ||x||\le t\}\subseteq R^{n+1}
多面体 P={x|aTj≤bj,j=1,...,m,cTjx=dj,j=1,...,p P = { x | a j T ≤ b j , j = 1 , . . . , m , c j T x = d j , j = 1 , . . . , p P=\{x|a_{j}^{T}\le b_{j},j=1,...,m,c_{j}^{T}x=d_{j},j=1,...,p\}，即为有限个半空间和超平面的交集，单纯形也为凸集，是一种特殊的多面体
半正定锥 Sn+={X∈Rn∗n|X=XT,X⪰0 S + n = { X ∈ R n ∗ n | X = X T , X ⪰ 0 S_{+}^{n}=\{X\in R^{n*n}|X=X^{T},X\succeq0\}，即为半正定对称矩阵的集合

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