codeforces 932E Team Work 高等数学求导、dp

题解

这是一道纯粹的数学求导题目。
首先我们先写出要求的公式。
ans=∑r=1nCnrrkans = \sum_{r=1}^{n} C_n^{r}r^kans=∑r=1nCnrrk
乍一看，雾草好吓人，但是学过高等数学且稍有常识的人（不是我）可以看出，这个可以由某个式子不断乘x并求导得出来。
没错，稍有常识的人又可以看出来了，这个式子就是(1+x)n(1+x)^n(1+x)n
(1+x)n=∑r=0nCnrxr(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n}C_n^{r}x^r(1+x)n=∑r=0nCnrxr
我们定义 f0=ddx(1+x)n=n(1+x)n−1f_0 = \frac{d}{dx}(1+x)^n = n(1+x)^{n-1}f0=dxd(1+x)n=n(1+x)n−1
同时f0(x)=∑r=1nCnrrxr−1f_0(x) = \sum_{r=1}^{n} C_n^{r}rx^{r-1}f0(x)=∑r=1nCnrrxr−1
定义ft(x)=ddx(xft−1(x))f_t(x) = \frac{d}{dx}(xf_{t-1}(x))ft(x)=dxd(xft−1(x))
这样的话fk−1(x)=∑r=1nCnrrkf_{k-1}(x) = \sum_{r=1}^{n} C_n^{r}r^kfk−1(x)=∑r=1nCnrrk
那么我们要求的答案ans=fk−1(0)(1)ans = f_{k-1}^{(0)}(1)ans=fk−1(0)(1)
我们知道ft(x)=ddx(xft−1(x))=ft−1(x)+xft−1(1)(x)f_t(x) = \frac{d}{dx}(xf_{t-1}(x))=f_{t-1}(x)+xf_{t-1}^{(1)}(x)ft(x)=dxd(xft−1(x))=ft−1(x)+xft−1(1)(x)
通过这个操作，ft(p)(1)=(p+1)ft−1(p)(1)+ft−1(p+1)(1)f_t^{(p)}(1) = (p+1)f_{t-1}^{(p)}(1)+f_{t-1}^{(p+1)}(1)ft(p)(1)=(p+1)ft−1(p)(1)+ft−1(p+1)(1)
没错！这就是我们的递推公式！
定义dp[i][j]=fi(j)(1)dp[i][j] = f_{i}^{(j)}(1)dp[i][j]=fi(j)(1)
dp[i][j]=(p+1)∗dp[t−1][p]+dp[t−1][p+1]dp[i][j] = (p+1)*dp[t-1][p]+dp[t-1][p+1]dp[i][j]=(p+1)∗dp[t−1][p]+dp[t−1][p+1]
由于我们只需要ans=dp[k−1][0]ans=dp[k-1][0]ans=dp[k−1][0]，那么就只需要dp[k−2][0...1]dp[k-2][0...1]dp[k−2][0...1],…,只需要dp[0][0...k−1]dp[0][0...k-1]dp[0][0...k−1]
状态数O(K2)O(K^2)O(K2)

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N,k;
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 5007;
ll dp[maxn][maxn],sum[maxn];
ll mod_pow(ll x,ll n){ll ans = 1;while(n){if(n&1)ans = ans * x % mod;x = x*x%mod;n >>= 1;}return ans;
}
int main(){cin>>N>>k;if(N == 1){return 0*printf("1\n");}ll pre = N;for(int t = 0;t < min(N,5005ll);++t){dp[0][t] = pre*mod_pow(2,N-1-t)%mod;pre = pre*(N-1-t)%mod;}for(int i = 1;i <= k;++i){for(int j = 0;j <= k;++j){dp[i][j] = ((j+1)*dp[i-1][j] + dp[i-1][j+1])%mod;}}printf("%lld\n",dp[k-1][0]);return 0;
}

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