正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4091

题目大意

给出nnn，求
∑i=0n∑j=0i{ij}2jj!\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}2^jj!i=0∑nj=0∑i{ij}2jj!

解题思路

看题解才知道2jj!2^jj!2jj!对这nlog⁡nn\log nnlogn做法没有任何意义，卡了好久。
首先斯特林数的通项公式是{nm}=1m!∑k=0m(−1)k(mk)(m−k)n\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom{m}{k}(m-k)^n{nm}=m!1k=0∑m(−1)k(km)(m−k)n
⇒∑k=0m(−1)k(m−k)nk!(m−k)!\Rightarrow \sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k(m-k)^n}{k!(m-k)!}⇒k=0∑mk!(m−k)!(−1)k(m−k)n

提到这个式子来（因为如果j>ij>ij>i就是000所以直接不管这个限制）
∑i=0n∑j=0n2jj!∑k=0j(−1)k(j−k)nk!(j−k)!\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k(j-k)^n}{k!(j-k)!}i=0∑nj=0∑n2jj!k=0∑jk!(j−k)!(−1)k(j−k)n
然后把枚举iii的那层丢到分数那里
∑j=0n2jj!∑k=0j(−1)k∑i=0n(j−k)ik!(j−k)!\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k\sum_{i=0}^{n}(j-k)^i}{k!(j-k)!}j=0∑n2jj!k=0∑jk!(j−k)!(−1)k∑i=0n(j−k)i
然后这个后面式子就可以卷积了，定义F(x)=(−1)xx!,G(x)=∑i=0nxnx!F(x)=\frac{(-1)^x}{x!},G(x)=\frac{\sum_{i=0}^nx^n}{x!}F(x)=x!(−1)x,G(x)=x!∑i=0nxn
然后GGG通项公式一下就是G(x)=xn+1−1(x−1)x!G(x)=\frac{x^{n+1}-1}{(x-1)x!}G(x)=(x−1)x!xn+1−1
时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=6e5+10,P=998244353;
struct poly{ll a[N],n;
}G,F;
ll n,ans,fac[N],inv[N],fnv[N],r[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(r[i]<i)swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
void mul(poly &a,poly &b){ll n=1;while(n<=a.n+b.n)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)^((i&1)?(n>>1):0);NTT(a.a,n,1);NTT(b.a,n,1);for(ll i=0;i<n;i++)a.a[i]=a.a[i]*b.a[i]%P;NTT(a.a,n,-1);return;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);fac[1]=fac[0]=fnv[0]=inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;for(ll i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,fnv[i]=inv[i]*fnv[i-1]%P;F.a[0]=G.a[0]=1;F.a[1]=P-1;G.a[1]=n+1;fnv[0]=0;for(ll i=2;i<=n;i++){F.a[i]=(i&1)?(P-fnv[i]):fnv[i];G.a[i]=(power(i,n+1)-1)*inv[i-1]%P*fnv[i]%P;}G.n=F.n=n;mul(G,F);for(ll i=0,pw=1;i<=n;i++){(ans+=G.a[i]*pw%P*fac[i]%P)%=P;pw=pw*2%P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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