A. chino with string(ac自动机+floyd矩阵快速幂)

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有mmm个字符串,每个字符串有一定的分值(可能为负数)

求出一个长nnn的字符串sss使得它的价值最大,你只需要输出这个最大的价值.

价值定义为∑i=1mcii∗pointi\sum\limits_{i=1}^m ci_i*point_ii=1∑mcii∗pointi

其中ciici_icii表示给定的第iii个字符串在sss中的出现次数,pointipoint_ipointi表示第iii个字符串的分值

对mmm个字符串建acacac自动机,每个节点预处理一个pointipoint_ipointi表示以这个节点结尾的所有串的分值和

当然这个pointpointpoint要在failfailfail树上推标记累加

容易想到定义f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示长度为iii的字符串在jjj节点的最大分值

转移方程一目了然(满足qqq节点到jjj节点有边)

f[i][j]=max⁡q−>j{f[i−1][q]+pointj}f[i][j]=\max_{q->j}\{f[i-1][q]+point_j\}f[i][j]=q−>jmax{f[i−1][q]+pointj}

然而n<=109n<=10^9n<=109,一般来说可以使用矩阵快速幂,但这里是max⁡\maxmax运算

初始矩阵为,长度是自动机上的节点个数,也就是相当于f[0][0],f[0][1]...f[0][id]f[0][0],f[0][1]...f[0][id]f[0][0],f[0][1]...f[0][id]的值

[0−inf⋯−inf]\begin{bmatrix} 0 & -inf & \cdots & -inf \\ \end{bmatrix} [0−inf⋯−inf]

转移矩阵为id∗idid*idid∗id的矩阵(下面用nnn表示ididid)

S=[x11x12⋯x1nx21x22⋯x2n⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnn]S= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots\ & x_{nn} \\ \end{bmatrix} S=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯ x1nx2n⋮xnn⎦⎥⎥⎥⎤

其中xi,jx_{i,j}xi,j表示,若iii节点到jjj节点有边,xi,j=mxjx_{i,j}=mx_jxi,j=mxj

若iii节点到jjj节点无边,xi,j=−infx_{i,j}=-infxi,j=−inf代表不能转移

这是一个外层max⁡\maxmax运算,内层+++运算的矩阵乘法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 1e6+10;
const ll inf = 1e17;
int n,m,mx;
struct rce
{ll m[201][201];rce(){ memset( m,-0x3f3f3f3f,sizeof m); }
};
rce operator * ( rce a, rce b )
{rce ans;for(int i=0;i<=mx;i++)for(int j=0;j<=mx;j++)for(int k=0;k<=mx;k++)ans.m[i][j] = max( ans.m[i][j],a.m[i][k]+b.m[k][j] );return ans;
}
int zi[maxn][30],fail[maxn],id = 1;
ll point[maxn];
char a[maxn];
void insert(char a[],int val)
{int len = strlen( a+1 ), now = 0;for(int i=1;i<=len;i++){if( !zi[now][a[i]-'a'] )  zi[now][a[i]-'a'] = ++id;now = zi[now][a[i]-'a'];}point[now] += val;
}
void make_fail()
{queue<int>q;for(int i=0;i<=25;i++)if( zi[0][i] )  q.push( zi[0][i] );while( !q.empty() ){int u = q.front(); q.pop();point[u] += point[fail[u]];for(int i=0;i<=25;i++){int v = zi[u][i];if( v )fail[v] = zi[fail[u]][i], q.push( v );else  zi[u][i] = zi[fail[u]][i];}}
}
rce quick(rce x,int n)
{rce ans = x;for( ; n ; n>>=1,x=x*x )if( n&1 ) ans = ans*x;return ans;
}
int main()
{cin >> n >> m;for(int i=1;i<=m;i++){int val;scanf("%s%d",a+1,&val );insert( a,val );}make_fail(); mx = id;rce z;for(int i=0;i<=id;i++)for(int j=0;j<=25;j++){int v = zi[i][j];z.m[i][v] = point[v];}z = quick( z,n-1 );            ll ans = -inf;for(int i=0;i<=mx;i++)    ans = max( ans,z.m[0][i] );cout << ans;
}

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