文章目录

一、理论基础
- 1、GWO算法
- 2、TGWO算法
- - 2.1 Tent混沌映射
  - 2.2 控制参数调整
  - - 2.2.1 指数型收敛因子aaa策略
    - 2.2.2 控制参数H\boldsymbol HH调整策略
  - 2.3 改进位置更新公式
  - - 2.3.1 动态权重因子
    - 2.3.2 适应度比例系数
    - 2.3.3 融合改进的位置更新公式
  - 2.4 TGWO算法流程
二、仿真实验与结果分析
三、参考文献

一、理论基础

1、GWO算法

请参考这里。

2、TGWO算法

2.1 Tent混沌映射

混沌具有随机性和遍历性和初值敏感性，能使算法有更快的收敛速度。本文采用Tent映射来产生混沌序列，对种群进行初始化，使得初始解尽可能均匀的分布在解空间内。基于Tent映射生成混沌序列ZIkZ_I^kZIk过程如下：ZI+1k={ZIku,0≤ZIk≤u1−ZIk1−u,u<ZIk≤1(1)Z_{I+1}^k=\begin{dcases}\frac{Z_I^k}{u},\quad\quad\,\,\,\,0≤Z_I^k≤u\\[2ex]\frac{1-Z_I^k}{1-u},\quad u<Z_I^k≤1\end{dcases}\tag{1}ZI+1k=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧uZIk,0≤ZIk≤u1−u1−ZIk,u<ZIk≤1(1)其中，kkk为种群数，III为当前迭代次数，为保持算法初始化信息的随机性，uuu取值为u⊂rand(0,1)u\subset rand(0,1)u⊂rand(0,1)。
结合混沌序列ZIkZ_I^kZIk，进一步生成搜索区域内的灰狼个体初始位置序列XIkX_I^kXIk过程如下：XIk=XI,min⁡k+ZIk(XI,max⁡k−XI,min⁡k)(2)X_I^k=X_{I,\min}^k+Z_I^k\left(X_{I,\max}^k-X_{I,\min}^k\right)\tag{2}XIk=XI,mink+ZIk(XI,maxk−XI,mink)(2)其中，XI,max⁡kX_{I,\max}^kXI,maxk、XI,min⁡kX_{I,\min}^kXI,mink分别为XIkX_I^kXIk序列的最大值与最小值。

2.2 控制参数调整

2.2.1 指数型收敛因子aaa策略

GWO算法的实际寻优过程中，搜寻范围需要非线性动态调整，线型收敛因子aaa所决定搜索半径V\boldsymbol VV的变化不能客观、完整体现实际搜索过程。为此，本文提出一种指数型的收敛因子aaa更新策略，更好地拟合GWO算法中收敛因子aaa实际非线性变化过程。更新公式如下：a(I)=as+(as−ae)×[(1−IMaxIter)λ1]λ2(3)a(I)=a_s+(a_s-a_e)\times\left[\left(1-\frac{I}{MaxIter}\right)^{\lambda_1}\right]^{\lambda_2}\tag{3}a(I)=as+(as−ae)×[(1−MaxIterI)λ1]λ2(3)其中，as=2a_s=2as=2、ae=0a_e=0ae=0分别表示收敛因子起始、终止值；λ1,λ2∈(0,1)\lambda_1,\lambda_2\in(0,1)λ1,λ2∈(0,1)分别为非线性调节系数。

2.2.2 控制参数H\boldsymbol HH调整策略

在GWO算法中，参数H\boldsymbol HH同样决定着灰狼与猎物的靠近程度，为进一步地平衡算法的全局与局部搜索提出如下改进策略：H=2×r3−a(4)\boldsymbol H=2\times\boldsymbol{r_3}-a\tag{4}H=2×r3−a(4)其中，aaa由式(3)所得； r3\boldsymbol{r_3}r3为[1,1.5][1,1.5][1,1.5]内随机向量。
由式(4)可得，控制参数H\boldsymbol HH的调整策略中引入改进过后的指数型收敛因子aaa，在拟合狼群实际搜索过程的基础上，进一步调节参数H\boldsymbol HH。在搜索前期，满足∣H∣<1\boldsymbol {|H|}<1∣H∣<1，提升狼群全局勘探能力，丰富狼群位置分布的多样性；在搜索后期，满足∣H∣>1\boldsymbol {|H|}>1∣H∣>1，增强GWO算法局部开采能力，准确锁定全域最优值，提高收敛速度。随机向量r3\boldsymbol{r_3}r3的引入同样增加狼群搜索位置的遍历性。

2.3 改进位置更新公式

2.3.1 动态权重因子

受PSO惯性权重启发，引入动态权重因子bbb，动态更新灰狼个体步长。b(I)=bf−IMaxIter(bf−bs)(5)b(I)=b_f-\frac{I}{MaxIter}(b_f-b_s)\tag{5}b(I)=bf−MaxIterI(bf−bs)(5)其中，bsb_sbs、bfb_fbf分别表示权重因子的初值和终值。

2.3.2 适应度比例系数

为有效区分头狼α\alphaα、β\betaβ、δ\deltaδ的不同引导作用，在原始静态平均的基础上，引入适应度比例系数，动态加权平均以区分头狼贡献率，引导后续灰狼个体位置更新。适应度比例系数计算如下：{f=∣fα+fβ+fδ∣v1=fαf,v2=fβf,v3=fδff>0v1=v2=v3=13f=0(6)\begin{dcases}f=\left|f_\alpha+f_\beta+f_\delta\right|\\[2ex]v_1=\frac{f_\alpha}{f},\,\,v_2=\frac{f_\beta}{f},\,\,v_3=\frac{f_\delta}{f}\quad f>0\\[2ex]v_1=v_2=v_3=\frac13\quad\quad\quad\quad\quad\,\, f=0\end{dcases}\tag{6}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧f=∣fα+fβ+fδ∣v1=ffα,v2=ffβ,v3=ffδf>0v1=v2=v3=31f=0(6)其中，v1v_1v1、v2v_2v2、v3v_3v3为适应度比例系数；fαf_\alphafα、fβf_\betafβ、fδf_\deltafδ分别为α\alphaα、β\betaβ、δ\deltaδ的适应度值。

2.3.3 融合改进的位置更新公式

X(I+1)=b(I)⋅r4⋅(v1⋅X1+v2⋅X2+v3⋅X3)(7)\boldsymbol X(I+1)=b(I)\cdot\boldsymbol{r_4}\cdot(v_1\cdot\boldsymbol X_1+v_2\cdot\boldsymbol X_2+v_3\cdot\boldsymbol X_3)\tag{7}X(I+1)=b(I)⋅r4⋅(v1⋅X1+v2⋅X2+v3⋅X3)(7)其中，r4\boldsymbol{r_4}r4为[0,1][0,1][0,1]间的随机向量；b(I)b(I)b(I)由式(5)计算所得；v1v_1v1、v2v_2v2、v3v_3v3由式(6)计算所得。
在新的位置更新公式(7)中，首先，引入呈线型递减变化的动态权重因子，综合考虑狼群捕猎实际过程中，猎物位置移动的多变性以及灰狼个体位置更新的自主性，动态调整步长更新，更好地开发GWO算法的搜索寻优能力；其次，引入适应度比例系数，根据适应度值不同，权衡α\alphaα、β\betaβ、δ\deltaδ头狼对后续灰狼个体位置更新的不同引导作用，更有利于后续的底层灰狼个体趋近于全局最优解来更新位置；有效地拟合灰狼个体实际位置更新过程，提升算法在全域搜索的遍历性，以防止陷入局部范围的早熟停滞。

2.4 TGWO算法流程

Step1: 输入种群规模NNN，搜索维度dimdimdim，非线性调节系数λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2，最大迭代次数MaxIterMaxIterMaxIter；
Step2: 初始化灰狼个体α\alphaα、β\betaβ、δ\deltaδ的适应度值f(Xα)f(\boldsymbol X_\alpha)f(Xα)、f(Xβ)f(\boldsymbol X_\beta)f(Xβ)、f(Xδ)f(\boldsymbol X_\delta)f(Xδ)；位置空间Xα\boldsymbol X_\alphaXα、Xβ\boldsymbol X_\betaXβ、Xδ\boldsymbol X_\deltaXδ；
Step3: 基于Tent混沌映射形成初始种群{Xi}\{\boldsymbol X_i\}{Xi}，其中i=1,2,⋯,Ni=1,2,\cdots,Ni=1,2,⋯,N；
Step4: 计算灰狼个体适应度值f(Xi)f(\boldsymbol X_i)f(Xi)，并进行排序，其中i=1,2,⋯,Ni=1,2,\cdots,Ni=1,2,⋯,N；
Step5: 将适应度值排名位于第一、第二、第三的灰狼个体记为α\alphaα、β\betaβ、δ\deltaδ，并记录其位置信息Xα\boldsymbol X_\alphaXα、Xβ\boldsymbol X_\betaXβ、Xδ\boldsymbol X_\deltaXδ；
Step6: 分别根据式(3)更新收敛因子aaa，相应得出搜索半径V\boldsymbol VV的值，根据式(4)更新H\boldsymbol HH的值，根据式(5)更新动态权重因子bbb的值；
Step7: 依据2.3节所述对位置更新公式的融合改进策略，先后根据式(5)、(6)、(7)更新狼群个体位置；
Step8: 如果I<MaxIterI<MaxIterI<MaxIter，则令I=I+1I=I+1I=I+1，返回Step4，否则算法迭代结束，将最优适应度值及最佳位置输出。

二、仿真实验与结果分析

将TGWO与GWO和WOA进行对比，以文献[1]中表2的8个测试函数为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
TGWO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GWO：最差值: 0.0016743, 最优值: 9.5831e-09, 平均值: 6.2089e-05, 标准差: 0.00030547, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 65354.1291, 最优值: 19454.0585, 平均值: 43745.0368, 标准差: 13520.6414, 秩和检验: 1.2118e-12
函数：F2
TGWO：最差值: 6.8913e-284, 最优值: 2.7582e-293, 平均值: 3.0196e-285, 标准差: 0, 秩和检验: 1
GWO：最差值: 2.8709e-06, 最优值: 1.5594e-07, 平均值: 9.5599e-07, 标准差: 8.4683e-07, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 91.2283, 最优值: 2.8521, 平均值: 47.1139, 标准差: 29.1653, 秩和检验: 3.0199e-11
函数：F3
TGWO：最差值: 28.7545, 最优值: 1.014, 平均值: 27.8004, 标准差: 5.0592, 秩和检验: 1
GWO：最差值: 28.7174, 最优值: 25.9235, 平均值: 27.0304, 标准差: 0.8222, 秩和检验: 1.287e-09
WOA：最差值: 28.775, 最优值: 27.1884, 平均值: 27.967, 标准差: 0.44562, 秩和检验: 9.0632e-08
函数：F4
TGWO：最差值: 0.00023008, 最优值: 2.2637e-07, 平均值: 7.059e-05, 标准差: 5.4762e-05, 秩和检验: 1
GWO：最差值: 0.0033817, 最优值: 0.00034255, 平均值: 0.0014612, 标准差: 0.00077182, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.018087, 最优值: 6.6458e-05, 平均值: 0.0042044, 标准差: 0.0049256, 秩和检验: 1.4643e-10
函数：F5
TGWO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GWO：最差值: 24.5669, 最优值: 5.6843e-14, 平均值: 4.076, 标准差: 5.1695, 秩和检验: 1.197e-12
WOA：最差值: 1.1369e-13, 最优值: 0, 平均值: 3.7896e-15, 标准差: 2.0756e-14, 秩和检验: 0.33371
函数：F6
TGWO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GWO：最差值: 1.3589e-13, 最优值: 6.4837e-14, 平均值: 1.0522e-13, 标准差: 1.6806e-14, 秩和检验: 1.1303e-12
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 3.9672e-15, 标准差: 2.234e-15, 秩和检验: 9.1593e-09
函数：F7
TGWO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GWO：最差值: 0.023842, 最优值: 0, 平均值: 0.0030976, 标准差: 0.0066579, 秩和检验: 0.0055843
WOA：最差值: 0.20178, 最优值: 0, 平均值: 0.0067259, 标准差: 0.036839, 秩和检验: 0.33371
函数：F8
TGWO：最差值: 5.0698e-283, 最优值: 7.3324e-295, 平均值: 1.7692e-284, 标准差: 0, 秩和检验: 1
GWO：最差值: 0.0024596, 最优值: 1.2696e-16, 平均值: 0.00062083, 标准差: 0.00066305, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 1.1809e-49, 最优值: 4.2689e-59, 平均值: 8.2504e-51, 标准差: 2.6665e-50, 秩和检验: 3.0199e-11

实验结果表明：TGWO算法在单峰、多峰函数上均有较好的收敛性、较高的寻优精度。

三、参考文献

[1] 刘志强, 何丽, 袁亮, 等. 采用改进灰狼算法的移动机器人路径规划[J/OL]. 西安交通大学学报, 2022(10): 1-11 [2022-06-24].

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