[4G5G专题-33]：物理层-浅谈ZC序列的原理以及在LTE PSS中的应用

第1章 ZC序列概述

1.1序列的定义

1.2 复指数回顾

1.3 ZC序列概述

1.5 ZC序列的数学公式

1.6 ZC序列与复指数相位调制的关系

1.7 ZC序列的特点

第2章 PSS ZC序列的产生过程

2.1 ZC符号的产生

2.2 PSS的子载波

2.3 把ZC符号序列，映射到PSS的子载波上（调制）

2.4 ZC符号的相位调制与普通相位调制的比较

2.5 ZC序列的本质

第3章 UE对PSS ZC序列的检测过程

第4章复指数回顾

4.1 复数的定义

4.2 复数的计算

4.3 复数的极坐标形式

4.4 欧拉公式

4.5 指数函数的性质：

4.6 两个复数相乘：

4.7 求积分：

4.8 计算：

参考：

第1章 ZC序列概述

1.1序列的定义

数学上，序列是被排成一列的对象（或事件）；

每个元素不是在其他元素之前，就是在其他元素之后。

如果排列的对象是二进制比特0或1，称为二进制序列。二进制序列是坐标轴上的0和1两个点组成的序列，不同点可以重叠。

如果排列的对象是整数，那么称为整数序列。整数序列是横或纵坐标轴上的一个个的点组成的序列，点可以重叠。

如果排列的对象是复数，那么称为复数序列。复数序列是极坐标中的一个个的点组成的序列，点可以重叠。

1.2 复指数回顾

（1）复数的极坐标形式

$a+bi=rcos\theta +irsin\theta=r(cos\theta +isin\theta )=re^{i\theta }$
r：模 $\theta$ ：幅角

（2）欧拉公式

$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$
输入的是实数 $\theta$ ，输出的是复数，它的一般形式是 $u(\theta )+iv(\theta )$ ，这种函数叫实变量复（数）值函数。

欧拉函数首先是一个复数函数；其次，实部和虚部满足一定的关系，即平方和等于1。

欧拉序列：是有单位圆上的一个个点组成的、特殊的、复数序列。

1.3 ZC序列概述

在4G LTE系统中，PSS、SSS、cellRS、DMRS、SRS、PRACH、PUCCH等物理层信号，基本上都涉及到了ZC（Zadoff –Chu）序列信号。

在5G NR系统中，除了采用M序列来生成抵抗大频偏场景的PSS和SSS信号，其它信号也同样涉及到了Zadoff –Chu序列。

Zadoff –Chu序列，顾名思义，就是Zadoff 和Chu共同发现的序列。

ZC序列并不是一个二进制序列，而是一个欧拉复数序列。

也就是说，ZC序列并不是横坐标或纵坐标上一个个点的序列，也不是平面坐标上的任意一个个点的序列，而是复平面坐标上的单位圆上的一个个点组成的序列。

每个点对应一对（I, Q）的幅度值。

1.5 ZC序列的数学公式

其中m是序列的序号，q和N都是可调参数，则圆上的点与坐标轴的夹角为：

$\phi = \frac{\pi * q*m(m+1) }{N}$

在q和N确定的情况下, ZC序列的点如下图所示：

1.6 ZC序列与复指数相位调制的关系

如果把ZC序列的一个个点，作为复指数信号的调制信号，就会得到相位调制的信号。

载波信号：任意频率的复指数信号

调制信号的幅度A：恒定不变, 落在单位元上。

调制信号的相位：满足 $\phi = \frac{\pi * q*m(m+1) }{N}$

1.7 ZC序列的特点

（1）恒包络

任意长度的ZC序列的信号的幅值是恒定的，这也意味着功率恒定，这个好处就是射频器件不用忽大忽小的改变能量。

（2）理想周期自相关

（3）良好的互相关

ZC序列循环移位N后，原序列只与移位后的序列得良好的相关峰值，其它位置的序列相关峰值为0。

除此之外，两个根如果是互质的，生成的序列相关峰值几乎为零。

（4）傅立叶变换后仍是ZC序列

这个性质，简直就是为OFDM系统量身打造，也省去多少运算量。既可以在时域相关，也可以在频域相关，灵活决定姿势，怎么方便怎么来。

OFDM符号采用IFFT变换而来，OFDM符号要想保持正交性，就要求首尾要保持相位的连续性。

OFDM本质是多个并行的子载波采用正交IQ调制，然后相加在一起，以单个子载波对应的时间周期T，离散化后，刚好是一个离散逆傅立叶变换IFFT，这是OFDM调制采用IFFT变换的本质。

（5）对于发端，ZC序列峰均比低（ZC序列时频域都是ZC序列，且幅值恒定），有利于射频功放信号发挥最大的效率。

（6）对于信道估计，ZC序列幅值恒定，其图形可看作一个单位圆。

第2章 PSS ZC序列的产生过程

2.1 ZC符号的产生

（1）设定PSS中的小区ID为0,1,2

（2）0,1,2映射到ZC序列函数中的参数root index上，在上图中，体现公式中的q或u参数上。

（3）设定PSS ZC序列的个数62，即n=0,1,2,3，......61

（4）设定PSS ZC序列的参数N=63, 使之满足0<= n <= N-1

（5）取u=25，n=0,1,2,3，......61，得到NID=0时，由62个单位圆上的点组成的ZC序列。

这个序列实际上是单位圆上的一个个点，基带载波的幅度恒定为1，相位满足： $\phi = \frac{\pi * 25 *n(n+1) }{63}$

（5）取u=29, n=0,1,2,3，......61，得到NID=1时，由62个单位圆上的点组成的ZC序列。

这个序列实际上是单位圆上的一个个点，基带载波的幅度恒定为1，相位满足： $\phi = \frac{\pi * 29 *n(n+1) }{63}$

（5）取u=34, n=0,1,2,3，......61，得到NID=2时，由62个单位圆上的点组成的ZC序列。

这个序列实际上是单位圆上的一个个点，基带载波的幅度恒定为1，相位满足： $\phi = \frac{\pi * 34 *n(n+1) }{63}$

因此，ZC系列中的每个子载波，并不需要QAM或PSK调制和解调，而是幅度恒定为1，相位值为62个特定的系列值。

至此，根据不同的物理小区ID号，得到3组不同的ZC序列。实际上，一个确定的小区，其小区ID是确定的，因此其ZC序列也是确定的。

根据相位系列的特征，得到物理小区ID号。

PSS是一个ZC序列，由62个符号组成。NCellID不同时，PSS序列也是不同的，这表示PSS序列随NCellID (PCI: Physical CellID)变化而变化。

2.2 PSS的子载波

PSS和SSS信号位于小区中心频点的72个子载波上，即中心的6个RB上。这个时频资源的位置是固定的：

在整个小区频谱的中心位置
在10ms帧帧的5ms子帧处。

其中，不包含中心频点DC（DC其实也占用了一个Sc，因此对于更底层来说准确的应该是73）。

2.3 把ZC符号序列，映射到PSS的子载波上（调制）

PSS的ZC序列，由62个符号（幅度恒定为1，相位满足特定的函数关系）构成。

PSS的子载波有72个，足以承载62个符号。

实际只使用了频率中心DC周围的62个子载波，两边各留了5个（5+5=10）子载波用作保护波段。

也就是说，用于承载ZC序列的子载波的个数只需要62个。

因此PSS的ZC序列与PSS的子载波是一一对应的关系。

$^{_{}}$ $^{a_{k,l}}$ 中的k表示：在时频矩阵中的子载波编号，l表示：时频矩阵中的时间轴的编号，即符号数。

表示小区中心频点处的子载波号。

上述公式，实际就是把PSS的ZC序列按顺序一一映射到PSS的一个个子载波。

从时域上看，一个OFDM符号（其中，中心频点上下的62个子载波）中就包含了完整的PSS的同步系列。

这62个子载波：

每个子载波的幅度相同，恒定为1
每个子载波的相位大小，就是一个ZC系列。

2.4 ZC符号的相位调制与普通相位调制的比较

把ZC符号序列，映射到PSS的子载波上的过程实际上是一个相位调制PSK的过程。

与普通相位调制相比，有相同点，也有不同点：

（1）相同点：

不改变载波的幅度
不改变载波的频率
调制的是载波的相位
都是复指数调制和IQ调制
复指数调制和IQ调制的本质是通过幅度控制相位

（2）不同点：

相位的可变性：普通的相位调制的相位值是固定几种，如45°，90°，135°等等，而ZC的相位值可以是任意的。
相位的数量：普通的相位调制的相位的数量是固定，如QPSK是4种，8PSK为8种，而ZC的相位远远大于这个，PSS ZC序列的相位就有62个。

2.5 ZC序列的本质

经过如上的阐述，可以看出，ZC序列实际上是有无数个不同相位序列构成的子载波序列！！！

第3章 UE对PSS ZC序列的检测过程

（1）UE会在其支持的LTE频率的中心频点附近去尝试接收PSS和SSS。

（2）UE并不需要解调出每个子载波的相位值，只需要得到复指数的幅度值就可以了。

（3）UE也不需要先算出Root Index，在计算得到对应的NID.

（3）由于UE是知道PSS ZC序列的格式的，因此UE可以预先生产ZC序列的复指数信号的幅度值序列，然后用幅度值序列与收到的信号的幅度序列进行匹配，即模式匹配。

（4）因此UE获取NID的方法是采用模式匹配。

第4章复指数回顾

4.1 复数的定义

复数变实数，需要用到共轭性质： $z=a+bi$ ， $\overline{z}=a-bi$ ， $z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$

4.2 复数的计算

分子分母同乘以分母的共轭复数

$\frac{2+i}{1-3i}\times \frac{1+3i}{1+3i}=\frac{-1+7i}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i$

4.3 复数的极坐标形式

$a+bi=rcos\theta +irsin\theta=r(cos\theta +isin\theta )=re^{i\theta }$
r：模 $\theta$ ：幅角

4.4 欧拉公式

$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$
输入的是实数 $\theta$ ，输出的是复数，它的一般形式是 $u(\theta )+iv(\theta )$ ，这种函数叫实变量复（数）值函数。

4.5 指数函数 $e^{i\theta }$ 的性质：

指数函数的运算法则（指数率）： $e^{i\theta_{1} }\cdot e^{i\theta_{2} } =e^{i(\theta_{1}+\theta_{2}) }$ ，或者 $(cos\theta_{1}} +isin\theta_{1})(cos\theta_{2}} +isin\theta_{2})=cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})$ ；
$e^{i\theta }$ 的求导法则： $({e^{i\theta }})'=ie^{i\theta }$ ，或者 ${(cos\theta +isin\theta)}'= {cos\theta}'+i{sin\theta}'=-sin\theta +icos\theta =i(cos\theta +isin\theta)$
当 $\theta=0$ 时： $e^{i0}=1$ ，或者 $cos0 +isin0=1+0=1$
这个定义符合无穷级数

4.6 两个复数相乘：

用极坐标算，只需将模r相乘，幅角 $\theta$ 相加： $r_{1}e^{i\theta_{1} }\cdot r_{2}e^{i\theta_{2} }=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1} +\theta_{2} )}$
用直角坐标算会很麻烦： $(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=......$

4.7 求积分 $\int e^{-x}cosxdx$ ：

直接算可以用分部积分法，但很麻烦
因为 $cosx$ 是 $e^{ix}$ 的实数部分，所以可以将 $e^{ix}$ 替换 $cosx$ ，原方程变为 $\int e^{-x}e^{ix}dx$ ，积分完成后再去掉虚数部分即可
$\int e^{-x}e^{ix}dx=\int e^{(-1+i)x}dx=\frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}\cdot \frac{-1-i}{-1-i} =\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)$
将 $e^{ix}$ 转换成三角函数： $\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)=\frac{1}{2}e^{-x}(cosx+isinx)(-1-i)$
去掉虚数部分得： $\frac{1}{2}e^{-x}(-cosx+sinx)$

4.8 计算 $\sqrt[n]{1}$ ：

在实数范围内，计算结果只有：1或±1
在复数范围内，计算结果有n个：单位圆上的n个等分点（ $e^{i\theta_{1} }$ ， $e^{i\theta_{2} }$ ，……， $e^{i\theta_{n} }$ ）
证明：因为是单位圆，模相乘r=1；因为是等分点，幅角相加 $\theta _{1}+\theta _{2}+......\theta _{n}=2\pi =0$ ， $e^{i0}=1$
几何图见视频40:00~45:00

参考：

5GNR漫谈13：Zadoff –Chu（ZC）序列性质_guet208的博客-CSDN博客_zadoff-chu序列

LTE学习-PSS主同步信号_RACH_preamble的博客-CSDN博客_主同步信号

[4G5G专题-33]：物理层-浅谈ZC序列的原理以及在LTE PSS中的应用相关推荐

python内建函数有哪些_享学课堂浅谈Python序列内建函数都有哪些
python的内建函数和库函数的区别是什么?人在得不到的时候,什么都可以不介意.得到之后,什么都有点介意. python.什么是内建函数? python.什么是内建函数?新手小白自学python.不懂 ...
深入浅谈，CPU设计原理
首先,声明这是一篇转载文,这篇文章是,从卡饭论坛看到的一篇文章<深入浅谈,CPU设计原理>,是一篇连载,文章,卡饭论坛,是我高中的时候,经常去的论坛,里面有很多好的文章,推荐给大家.也许 ...
任务驱动在计算机教学中的应用,浅谈任务驱动法在《计算机应用基础》教学中的应用_优秀论文...
<浅谈任务驱动法在<计算机应用基础>教学中的应用_优秀论文>由会员分享,可在线阅读,更多相关<浅谈任务驱动法在<计算机应用基础>教学中的应用_优秀论文(8页珍 ...
浅谈Rem 及其转换原理
浅谈Rem 及其转换原理今天有小伙伴问了我Rem的转换原理,那我就写篇博客记录一下吧! rem 是 CSS3 新增的相对长度单位,是指相对于元素 html 的 font-size 计算值的大小. ...
浅谈人工智能的工作原理
众所周知人工智能现在快速发展,并且为众人所熟知,不仅如此,人工智能也在各行各业中广泛使用.那么人工智能的工作原理是什么呢? 浅谈人工智能的工作原理人类智能由三个部分构成(还有些其他生物学和科学现象也 ...
动态磅是怎么原理_浅谈动态地磅的原理及未来发展方向
浅谈动态地磅的原理及未来发展方向: 文章介绍了动态地磅的结构和工作原理,针对动态地磅的分类做了全面的概述,分别对不同的动态地磅做了对比及详细的阐述,说明选择和使用动态地磅器的注意事项,凸显了轴组式动态 ...
计算机在旅游方面的应用,浅谈旅游专业在《计算机应用基础》设计中的思考
<浅谈旅游专业在<计算机应用基础>设计中的思考>由会员分享,可在线阅读,更多相关<浅谈旅游专业在<计算机应用基础>设计中的思考(6页珍藏版)>请在人人文 ...
浅谈软件开发工具CASE在软件项目开发中发挥的作用认识
浅谈软件开发工具CASE在软件项目开发中发挥的作用认识内容摘要:阐述了CASE工具作为一种开发环境在软件项目开发中所起到的开发及管理作用.CASE工具实际上是把原先由手工完成的开发过程转变为以自动 ...
浅谈 git 底层工作原理
浅谈 git 底层工作原理系统复习到这里也快差不多了,大概就剩下两三个 sections,这里学习一下 git 的 hashing 和对象. 当然,跳过问题也不大. config 文件这里还是会用 ...

[4G5G专题-33]：物理层-浅谈ZC序列的原理以及在LTE PSS中的应用