不仅仅是减少计算量

在计算一个独立同分布数据集的联合概率时，如：

X={x1,x2,…,xN}X={x1,x2,…,xN}

其联合概率是每个数据点概率的连乘：

p(X∣Θ)=∏i=1Np(xi∣Θ)p(X∣Θ)=∏i=1Np(xi∣Θ)

两边取对数则可以将连乘化为连加

lnp(X∣Θ)=∑i=1Nlnp(xi∣Θ)ln⁡p(X∣Θ)=∑i=1Nln⁡p(xi∣Θ)

乘法变成加法，从而减少了计算量；同时，如果概率中含有指数项，如高斯分布，能把指数项也化为求和形式，进一步减少计算量；另外，在对联合概率求导时，和的形式会比积的形式更方便。

但其实可能更重要的一点是，因为概率值都在[0,1]之间，因此，概率的连乘将会变成一个很小的值，可能会引起浮点数下溢，尤其是当数据集很大的时候，联合概率会趋向于0，非常不利于之后的计算。

取对数不影响单调性

p(x∣Θ1)>p(x∣Θ2)⇔lnp(x∣Θ1)>lnp(x∣Θ2)p(x∣Θ1)>p(x∣Θ2)⇔ln⁡p(x∣Θ1)>ln⁡p(x∣Θ2)

因为相同的单调性，它确保了概率的最大对数值出现在与原始概率函数相同的点上。因此，可以用更简单的对数似然来代替原来的似然。

Reference：Why we consider log likelihood instead of Likelihood in Gaussian Distribution

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