python绘制动态Julia集，超炫酷

Julia集

此Julia非彼Julia，指的是对于某复数ccc，使得迭代式f(z)=z2+cf(z)=z^2+cf(z)=z2+c收敛的复数zzz的集合。例如，当c=0c=0c=0时，那么其收敛区间为z2<1z^2<1z2<1的单位圆，对应的ccc的Julia集便是cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\thetacosθ+isinθ。

Mandelbrot集

特别地，当c=zc=zc=z的初始值时，符合收敛条件的zzz的便构成大名鼎鼎的Mandelbrot集

在上图中，颜色表示该点的发散速度，可以理解为开始发散时迭代的次数。其生成代码也非常简单，唯一需要注意的是，由于使用了大量的矩阵运算，故使用了cupy，如果电脑没装cuda，只需将所有的cp改为np即可。

# 这些代码会在后面的程序中反复调用，不再说明
import numpy as np
import time
import matplotlib.pyplot as plt
import cupy as cp#生成z坐标 x0,y0 为起始点， nx,ny为点数， delta为点距
def genZ(x0, y0, nx, ny, delta):real, img = cp.indices([nx,ny])*deltareal += x0img += y0return real.T+img.T*1j#获取Julia集，n为迭代次数，m为判定发散点，大于1即可
def getJulia(z,c,n,m=2):t = time.time()z,out = z*1, cp.abs(z)c = cp.zeros_like(z)+cfor i in range(n):absz = cp.abs(z)z[absz>m]=0      #对开始发散的点置零c[absz>m]=0       out[absz>m]=i   #记录发散点的发散速度z = z*z + cprint("time:",time.time()-t)return outz1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003)
mBrot = getJulia(z1,z1,50)
plt.imshow(mBrot.get(), cmap=plt.cm.jet)
plt.show()

如果对其生成过程感兴趣，那么可以观察一下随着迭代次数的增加，图像的变化情况

代码如下。

from matplotlib import animationfig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()def getJulias(z,c,n,m=2):z,out = z*1, cp.abs(z)c = cp.zeros_like(z)+cJ = []for i in range(n):z = z*z + cabsz = cp.abs(z)z[absz>m]=0      #对开始发散的点置零c[absz>m]=0       out[absz>m]=i   #记录发散点的发散速度im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True)ax.set_axis_off()J.append([im])return JN = 75     #迭代次数
z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003)
J = getJulias(z1,z1,N)ani = animation.ArtistAnimation(fig, J, interval=50, blit=True,repeat_delay=1000)
plt.show()
ani.save('julias.gif',writer='imagemagick')

无限缩放

Mandelbrot集的分形特征意味着我们所生成的图片可以无限放大，但是受到栅格化尺寸的影响，手动的放大并不会更改其真实尺寸，

为了照顾观感，将缩放中心作为图像的中心，所以对genZ函数进行修改。如果选取(-0.75,-0.2)作为缩放中心，则其变化如下

代码为

from matplotlib import animation# 生成z坐标 xy=np.array([xc,yc]) 为起始点，
# nxy=np.array([nx,ny])为点数， delta为点距
def genZbyCenter(xy,nxy,delta):x0, y0 = xy-np.array(nxy)*delta/2return genZ(x0,y0,*nxy,delta)mBrots = []
xy = [-0.75,-0.2]
nxy = [1000,1000]
delta0 = 0.003  #初始宽度fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()for n in range(50):z1 = genZbyCenter(xy,nxy,1.1**(-n)*delta0)out = getJulia(z1,z1,40)im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True)ax.set_axis_off()mBrots.append([im])ani = animation.ArtistAnimation(fig, mBrots, interval=50, blit=True)
plt.show()
ani.save('zoom.gif',writer='imagemagick')

Julia集

如果更改c的值，那么就能得到一个变化着的Julia集，例如，下面选取一条直线

y=xy=xy=x

上面的Julia集，效果如图所示

代码为

z1 = genZ(-2,-1.5,1000,1000,0.003)fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()mBrots = []
for x in np.arange(0.5,1,0.01):c = x + x*1jout = getJulia(z1,c,40)im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=True)ax.set_axis_off()mBrots.append([im])ani = animation.ArtistAnimation(fig, mBrots, interval=50)
plt.show()
ani.save('julia.gif',writer='imagemagick')