文章目录

为什么要进行相机参数标定
相机内参矩阵原理
相机标定方法——Recap: 相机标定
张正友标定法
相机模型
计算单应性矩阵H
计算内参数矩阵
计算外部参数
实验（matlab实现）

为什么要进行相机参数标定

在拍摄中，相机可能会出现畸变，用软件的方法校正生成的图像，避免拍摄出的图像产生桶形和枕形畸变

不同的镜头的在生产和组装过程中的畸变程度各不相同，通过相机标定可以校正这种镜头畸变，生成矫正后的图像。

相机内参矩阵原理

针孔相机模型

设P=(X,Y,Z)为场景中的一点，在针孔相机模型中，其要经过以下几个变换，最终变为二维图像上的像点p=(μ,ν)

1、将P从世界坐标系通过刚体变换(旋转和平移)变换到相机坐标系，这个变换过程使用的是相机间的相对位姿，也就是相机的外参数。
2、从相机坐标系，通过透视投影变换到相机的成像平面上的像点p=(x,y)
3、将像点p从成像坐标系，通过缩放和平移变换到像素坐标系上点p=(μ,ν)

相机将场景中的三维点变换为图像中的二维点，也就是各个坐标系变换的组合，可将上面的变换过程整理为矩阵相乘的形式

矩阵K称为相机的内参数矩阵

对于大多数标准相机来说，可将扭曲参数γ设为0.
像主点(光心):光线坐标轴和图像平面的交点

相机标定方法——Recap: 相机标定

因为相机拍摄的照片会损失三维的信息。
因此如果要对相机进行标定，我们首先要恢复照片的三维信息
在过去，通常采用制造三个相互垂直的平面
标定工具需要有极高的精度，包括不同平面的角度、特征点的物理距离等。因此制作标定工具十分困难。

张正友标定法

使用棋盘格标定的方法，将照片中的三维信息压缩为二维（Z=0)

在张氏标定法中，用于标定的棋盘格是三维场景中的一个平面Π，其在成像平面的像是另一个平面π，知道了两个平面的对应点的坐标，就可以求解得到两个平面的单应矩阵H。
其中，标定的棋盘格是特制的，其角点的坐标是已知的；图像中的角点，可以通过角点提取算法得到（如Harris角点），这样就可以得到棋盘平面Π和图像平面π的单应矩阵H。

方法步骤：
1、检测每张图片中的棋盘图案的角点；
2、利用解析解估算方法计算出5个内部参数，以及6个外部参数
3、通过基于极大似然准则的优化解,提高A，R，t矩阵的精度。

相机模型

s: 世界坐标系到图像坐标系的尺度因子
A: 相机内参矩阵
(u0,v0): 像主点坐标
α, β: 焦距与像素横纵比的融合
γ: 径向畸变参数

令棋盘格平面为Z=0的平面。
注意，s对于齐次坐标来说，不会改变齐次坐标值。
定义旋转矩阵R的第i列为 ri, 则有

计算单应性矩阵H

H表示的是成像平面和标定棋盘平面之间的单应矩阵（Homographic矩阵)
可通过最小二乘，从角点世界坐标到图像坐标的关系求解

H是一个齐次矩阵，所以有8个未知数，至少需要8个方程，每对对应点能提供两个方程，所以至少需要四个对应点，就可以算出世界平面到图像平面的单应性矩阵H。

计算内参数矩阵

由于旋转矩阵是个正交矩阵，r1和r2正交

代入可得：

即每个单应性矩阵能提供两个方程，而内参数矩阵包含5个参数，要求解，至少需要3个单应性矩阵。为了得到三个不同的单应性矩阵，我们使用至少三幅棋盘格平面的图片进行标定。通过改变相机与标定板之间的相对位置来得到三个不同的图片。
为了方便计算，定义如下：

可以看到，B是一个对称阵，所以B的有效元素为六个，让这六个元素写成向量b，即

令hi为单应矩阵H的第i个行向量，则有

根据b的定义，可以推导出如下公式

有了上边的等式，再来看从一幅标定板图像得到的等式
由推出
如果有n组观察图像，则V 是 2n x 6 的矩阵

根据最小二乘定义，V b = 0 的解是 VTV 最小特征值对应的特征向量。
因此, 可以直接估算出 b，后续可以通过b求解内参

当观测平面 n ≥ 3 时，可以得到b的唯一解
当 n = 2时, 一般可令畸变参数γ = 0
当 n = 1时, 仅能估算出α 与 β, 此时一般可假定像主点坐标 u0 与 v0 为0

对于方程Vb=0可以使用SVD求得其最小二乘解。对V^TV进行SVD分解，其最小特征值对应的特征向量就是Vb=0的最小二乘解，从而求得矩阵B。由于这里得到的B的估计值是在相差一个常量因子下得到的，所以有：

计算外部参数

基于极大似然准则的优化解这里不做介绍

实验（matlab实现）

设备：华为荣耀V9
matlab实现参考：https://blog.csdn.net/JennyBi/article/details/85764988#%E7%9B%B8%E6%9C%BA%E6%A0%87%E5%AE%9A%E7%9A%84%E5%8E%9F%E7%90%86

实验结果：
Camera Intrinsics 相机内部参数
IntrinsicMatrix: [3x3 double] 内参矩阵

FocalLength: [3.2069e+03 3.2136e+03] 焦距
PrincipalPoint: [1.9719e+03 1.4998e+03] 主点, 投影中心
Skew: 0 倾斜参数

Lens Distortion 镜头扭曲
RadialDistortion: [0.0441 -0.2188] 径向失真
TangentialDistortion: [0 0 ]切线失真

Camera Extrinsics 相机外部参数
RotationMatrices: [3x3x19 double] 旋转矩阵
TranslationVectors: [19x3 double] 平移向量

Accuracy of Estimation 估计准确度
MeanReprojectionError: 1.6714 平均投影错误
ReprojectionErrors: [35x2x19 double] 重投影错误
ReprojectedPoints: [35x2x19 double] 重投影点

Calibration Settings 校准设置
NumPatterns: 19
WorldPoints: [35x2 double]
WorldUnits: ‘mm’
EstimateSkew: 0
NumRadialDistortionCoefficients: 2
EstimateTangentialDistortion: 0

show original 原始图像

show undistorted 矫正图像

参考博客：
https://www.cnblogs.com/wangguchangqing/p/8335131.html#autoid-0-0-0
https://blog.csdn.net/u010128736/article/details/52860364

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