A*搜索算法——图形搜索算法

A* 搜索算法——图形搜索算法：从给定起点到给定终点计算出路径。其中使用了一种启发式的估算，为每个节点估算通过该节点的最佳路径，并以之为各个地点排定次序。算法以得到的次序访问这些节点。因此，A*搜索算法是最佳优先搜索的范例。

该算法综合了最良优先搜索和Dijkstra算法的优点：在进行启发式搜索提高算法的效率的同时，可以保证找到一条最优路径。

在此算法中，如果以g(n)表示从起点到当前顶点n的实际距离，h(n)表示当前顶点n到目标顶点的估算距离，那么A*算法的估算函数为：f(n) = g(n) + h(n);f(n)代表了该节点的综合预估值，值越小，到达目标的成本就越小，所以访问的时候尽量优先考虑最小的。h（n）值可以采用欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等公式计算而来。

1.欧几里得距离：指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。

2.曼哈顿距离：两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离，即d(i,j)=|xi-xj|+|yi-yj|。对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离正是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离，因此，曼哈顿距离又称为出租车距离。

3.切比雪夫距离：是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。以(x1,y1)和(x2,y2)二点为例，其切比雪夫距离为max(|x2-x1|,|y2-y1|)。

A*搜索算法的步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S = {vs}，vs的距离为0。U包含除vs外的其他顶点，即U={其余顶点}，若u不是vs的出边零接点，则<u,vs>权值为∞；

b.从U中选取一个距离vs最小的顶点k，把k加入S中（该选定的距离就是vs到k的最短路径长度min）；

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点vs到顶点u的距离（经过顶点k）比原来的距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，即dist[u] = min(dist[u],min + w[k][u]);

d.重复步骤b和c知直到所有顶点都包含在S中。

A*搜索算法的优点：求解出状态空间搜索的最短路径。

我们先下个定义，如果一个估价函数可以找出最短的路径，我们称之为可采纳性。

f'(n) = g'(n) + h'(n)

f'(n)是估价函数，g'(n)是起点到节点n的最短路径值，h'(n)是n到目标的最短路经的启发值。由于这个f'(n)其实是无法预先知道的，所以我们用前面的估价函数f(n)做近似。g(n)代替g'(n)，但 g(n)>=g'(n)才可。可以证明应用这样的估价函数是可以找到最短路径的，也就是可采纳的。我们说应用这种估价函数的最好优先算法就是A*算法。

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