谈谈算法的时间复杂度

问题一：我们如何判断一个算法的优劣？

答：在不考虑额外空间开销的情况小，对于同一个问题，直观而言，解决这个问题的算法需要的时间越少，我们就可以认为这个算法的效率越高。

就比如：如果我们需要在有序数组array中查找一个数key，返回这个key在数组中的下标，（我们假设这个key是在数组中一定存在的）。我们第一个反应是遍历整个数组。

for(int i=0;i<array.length;i++){if(array[i]==key)return i;
}

暴力求解，如此的简单，so easy.

但是如果我们这个数组里如果有一亿个数，那么在最坏情况下（比如这个数字在数组的末尾），我们需要遍历完整个数组才能找到这个数，那么我们需要的时间是非常大的，所以这个这个算法在数据量大的情况下显得不那么的友好。

所以我们通常不那么做，而是使用二分查找。（每次查找范围都缩小一半，知道找到这个数为止。）

public static int rank(int [] array,int key)
{//前提：数组有序
int low=0;
int height=array.length-1;
while(low<=height){int mid=low+(height-low)/2 //数组的中间索引。if（key<array[mid]) { height=mid-1;}if(key>array[mid]) {low=mid+1;}else return mid;}}

那么在最坏情况下，我们在这个数组中需要找打这个数，我们来计算一下查找的次数。第一次N/2,第二次N/2/2,第三次N/2/2/2

易得第m次N/2^m,所以找到这个数的最坏情况为（2^m=n,则m=log2(N)）。

long(2N)的查找次数远远小于N。所以对于统一个问题，好的算法和坏的算法效率天壤之别。

我们既然知道，算法运行的快慢（时间的长短）是作为判断算法优劣的之一（今天只讲时间复杂度，还要考虑到空间复杂度），那么如何推广到一般性，即我们如何判断算法的执行时间呢？

问题二：如果我们需要知道一个算法执行的时间，我们应该怎么做。

解决一：直接用时间函数来统计，它根据计算机的不同，时间会不一样，但是我们如果想知道时间，每次都要实际操作才行，这样是不太现实的，有什么方法可以直观的得出一个算法的效率呢？直觉告诉我们它和问题的规模有关。

解决二，我们直接用数学模型来判断，我们根据执行语句执行的次数，来得出一个函数，这个函数就是问题的规模。这个问题的规模取决于最频繁的执行语句。显然算法运行时间是根据执行最频繁的语句的时间来决定的。

举个例子：

Int count=0;

For(int i=0;i<N;i++)

count++;

这个算法（姑且称之为算法吧），for循环这条语句执行的次数为N。问题的规模也为N。

所以这个算法执行的时间取决于N。

例子二：三数之和：

public static int sum(int [] a)
{统计数组中和为0的三元组的数量。
int count=0;
int N=a.length;
for(int i=0;i<N;i++)for(int j=i+1;j<N;j++)for(int k=j+1;k<N;k++)if(a[i]+a[j]+a[k]==0)count++;return count;}

在这个嵌套的三层循环中，我们可以看到，If语句是执行最频繁的那条语句，我们选取它作为这个算法执行的次数，可得它的执行的频率为N(N-1)(N-2)/6=N^3/6-N^2/2+N/3。。这条式子在这里就推导，有兴趣可以自行推导。

求近似

但是如果我们按照这样的分析，用语句执行的频率来作为算法的时间复杂度。那么当产生复杂数学表达式的时候，不利于我们分析这个算法的优劣。例如：

N(N-1)(N-2)/6=N^3/6-N^2/2+N/3。

这个表达式是不是看起来有点复杂，但是我们可以知道的是，一般在这种表达式中，随着N的增大，那么首项之后其他项的值都相对较小，（例如当N=1000时，-N^2/2+N/3≈499 667，而N^3/6≈166 666 667，）.由此我们可以得出，我们可以去除非常复杂但是幂次较低的项，因为它们对于我们的结果影响较小。

当N不断增大的时候，N^3/6-N^2/2+N/3除以N3/6的值无限趋近于一。所以我们用N^3/6作为近似值

所以我们取近似值N^3/6。

再进一步我们忽略系数，而把所有的注意力集中在问题规模上，那么这个算法的时间复杂度为N^3.。所以我们以后取时间复杂度时，只取最高次幂并且忽略它的系数。

函数	近似	时间复杂度
N^3/6-N^2/2+N/3	N^3/6	N^3
N^2/2+N/3	N^2/2	N^2
lgN+1	lgN	lgN
3	3	1

常见的时间复杂度总结

描述	时间复杂度	典型代码	说明
常数级别	1	a+b=c	普通语句
对数级别	logN	二分查找	二分策略
线性级别	N	For(int i=0;i<N;i++) { }	循环
线性对数级别	NLogN	分治	归并排序
平方级别	N2	For(int i=0;i<N;i++){ For(int j=i;j<N;j++) { } }	双层循环
立方级别	N3	三个for嵌套的for循环	三层循环

显然，对于算法，它的时间复杂度越低越好。如果一个算法的时间复杂度过高，那么对于我们来说是不可接受了，因为它实在是太慢了。

通常O(1)<O(logN)<O(N)<O(NLogN)<O(N^2)<O(N^3)<O(2^N)

参考：算法第四版。

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