2.8 转置矩阵及对称矩阵

转置矩阵

内积具有重要意义，那么如何计算变换后两个向量的内积呢？

向量 v,w\mathbf{v},\mathbf{w}v,w 经变换矩阵 AAA 变换为向量 Av,AwA\mathbf{v},A\mathbf{w}Av,Aw ，内积按矩阵乘法计算，就是向量 AvA\mathbf{v}Av 对应的行向量和向量 AwA\mathbf{w}Aw 的乘积。如何表示向量 AvA\mathbf{v}Av 对应的行向量呢？

行向量就是向量旋转，数值和向量 AvA\mathbf{v}Av 一样。向量 AvA\mathbf{v}Av 是向量组的线性组合，那行向量也是其线性组合，只是旋转了，所以行向量可以表示为：把矩阵 AAA 的列向量旋转为行向量，然后求线性组合。所以需要定义一种操作，把矩阵的列向量旋转为行向量，这就是矩阵转置。

定义转置矩阵把矩阵 AAA 的第 iii 个列向量旋转为第 iii 个行向量，得到一个新矩阵，叫做 AAA 的转置矩阵，记作 ATA^TAT 。

例如矩阵
A=[031425]AT=[012345]A = \left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \qquad A^T = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix} \right] A=⎣⎡012345⎦⎤AT=[031425]
所以列向量 v\mathbf{v}v 转置就是行向量 vT\mathbf{v^T}vT ，行向量是列向量的转置。

重要性质 (Av)T=vTAT(A\mathbf{v})^T = \mathbf{v^T}A^T(Av)T=vTAT 。

变换向量的内积为
(Av,Aw)=(Av)T(Aw)=vTATAw=vT(ATA)w(A\mathbf{v},A\mathbf{w}) = (A\mathbf{v})^T(A\mathbf{w}) = \mathbf{v^T}A^TA\mathbf{w}=\mathbf{v^T}(A^TA)\mathbf{w} (Av,Aw)=(Av)T(Aw)=vTATAw=vT(ATA)w

上式是四个矩阵相乘，结果是个数，大家一定要习惯矩阵表达式。

矩阵乘积 ATAA^TAATA 很重要，我们来计算下
A=[a1,a2,⋯,an]AT=[a1Ta2T⋮anT]ATA=[a1Ta1a1Ta2⋯,a1Tan⋮anTa1anTa2⋯,anTan]A = \left[ \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\cdots,\mathbf{a_n}\right] \quad A^T = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{1}} \\ \mathbf{a^T_{2}} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{n}} \end{matrix} \right] \\ A^TA= \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_1} & \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_2} \cdots, \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_n}\\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_1} & \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_2} \cdots, \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_n} \end{matrix} \right] A=[a1,a2,⋯,an]AT=⎣⎢⎢⎢⎡a1Ta2T⋮anT⎦⎥⎥⎥⎤ATA=⎣⎢⎡a1Ta1⋮anTa1a1Ta2⋯,a1TananTa2⋯,anTan⎦⎥⎤
矩阵第 iii 行第 jjj 列的数值是矩阵 AAA 的第 iii 个列向量与矩阵 AAA 的第 jjj 个列向量的内积。对任意矩阵 AmnA_{mn}Amn， ATAA^TAATA 是 nnn 阶方阵。

另一个与矩阵 AAA 密切相关的矩阵是 AATAA^TAAT ，我们来计算下
AAT=a1a1T+a2a2T+⋯+ananTAA^T = \mathbf{a_1}\mathbf{a^T_{1}}+\mathbf{a_2}\mathbf{a^T_{2}}+\cdots+\mathbf{a_n}\mathbf{a^T_{n}} AAT=a1a1T+a2a2T+⋯+ananT
是 nnn 个简单矩阵之和，每个简单矩阵是矩阵 AAA 的列向量与列向量的外积。AATAA^TAAT 是 mmm 阶方阵。

矩阵转置也可以看作一种运算，满足如下性质
(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(λA)T=λAT(AB)T=BTAT(A^T)^T=A \\ (A+B)^T=A^T+B^T \\ (\lambda A)^T=\lambda A^T \\ (AB)^T=B^TA^T (AT)T=A(A+B)T=AT+BT(λA)T=λAT(AB)T=BTAT
前3个很明显，证最后一个。

证：根据 (Av)T=vTAT(A\mathbf{v})^T = \mathbf{v^T}A^T(Av)T=vTAT ，v\mathbf{v}v 取矩阵 BBB 的每个列向量时得 (Ab1)T=b1TAT,⋯,(Abn)T=bnTAT(A\mathbf{b_1})^T = \mathbf{b^T_1}A^T ,\cdots ,(A\mathbf{b_n})^T =\mathbf{b^T_n}A^T(Ab1)T=b1TAT,⋯,(Abn)T=bnTAT ，合成矩阵形式即得。

方阵 ATAA^TAATA 的转置矩阵是 (ATA)T=AT((AT)T)=ATA(A^TA)^T = A^T((A^T)^T)=A^TA(ATA)T=AT((AT)T)=ATA ，等于自身。

定义对称矩阵设 SSS 为 nnn 阶方阵，如果满足 ST=SS^T = SST=S ，那么 SSS 称为对称矩阵，简称对称阵。

对称矩阵具有十分重要的地位，专门用大写字母 SSS 表示对称阵。

方阵 AATAA^TAAT 也是对称矩阵。

对称矩阵的特点是，第 iii 个列向量数值上等于第 iii 个行向量。下面两个矩阵都是对称阵。
S=[0221]S=[145426563]S = \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right] \qquad S = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 6 \\ 5 & 6 & 3 \end{matrix} \right] S=[0221]S=⎣⎡145426563⎦⎤
排成表格时，数值以对角线为对称轴对应相等，所以称为对称矩阵。

内积和矩阵转置还有一个重要性质，
(v,Aw)=vT(Aw)＝(vTA)w＝(ATv)Tw=(ATv,w)(\mathbf{v},A\mathbf{w})=\mathbf{v^T}(A\mathbf{w}) ＝ (\mathbf{v^T}A)\mathbf{w} ＝ (A^T\mathbf{v})^T\mathbf{w}=(A^T\mathbf{v},\mathbf{w}) (v,Aw)=vT(Aw)＝(vTA)w＝(ATv)Tw=(ATv,w)

向量 v\mathbf{v}v 与向量 w\mathbf{w}w 的变换向量（变换矩阵为 AAA ）的内积等于向量 v\mathbf{v}v 的变换向量（变换矩阵为 ATA^TAT ）与向量 w\mathbf{w}w 的内积。当变换矩阵是对称阵时，
(v,Sw)=vTSw=(Sv,w)(\mathbf{v},S\mathbf{w})=\mathbf{v^T}S\mathbf{w}=(S\mathbf{v},\mathbf{w}) (v,Sw)=vTSw=(Sv,w)

公式中矩阵 SSS 处于对称位置，故称对称矩阵。

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