如何用范德蒙行列式完成插值

同学们大家好，今天我们来讲解一个范德蒙行列式的应用--插值

1 什么是插值

插值问题是天文领域中，经常碰到的一个数学问题。比如某天文爱好者，每天都观察火星离地球的距离。星期一，星期二，星期四，星期五天气不错，成功观测到了数据,分别是3万公里，5万公里，2万公里与4万公里(数字纯属虚构)。但星期三因为有雾霾，没有观测到数据。

下面，我们希望利用星期一，二，四，五的数据，求出星期三的数据。这种，通过已知的离散数据求未知数据的过程或方法就称为插值

2 思路

下面。我们以横坐标为日期，纵坐标为距离，建立一个坐标系。然后将表格中的数据表示在坐标系中

根据常识，火星一定是连续运动的，会形成一个运动轨迹。而我们现在已知的4个点，必定在这个运动轨迹上。

只要我们将轨迹求出来，那我们就可以根据它，求出星期三时的距离。

3 求解

因为要穿越的已知点是4个，那么可以假设描述轨迹的曲线为3次多项

$y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$

将四个点的值带入多项式，可以得到如下方程组

$\begin{cases}3=a_0+1a_1+1^2a_2+1^3a_3\\ 5=a_0+2a_1+2^2a_2+2^3a_3\\ 2=a_0+4a_1+4^2a_2+4^3a_3\\ 4=a_0+5a_1+5^2a_2+5^3a_3\\ \end{cases}$

可以看到此时系数矩阵的行列式，就是范德蒙行列

$|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}1&1&1^2&1^3\\ 1&2&2^2&2^3\\ 1&4&4^2&4^3\\ 1&5&5^2&5^3\end{vmatrix}$

下面我们就依靠范德蒙行列式来求解方程。

解:(1)根据范德蒙行列式的运算规则，可以得到系数矩阵

$\boldsymbol{A}=72$

因为系数矩阵不为零。可知方程组有唯一解

(2)根据克拉默法则可知

$a_0=\frac{|\boldsymbol{A}_1|}{\boldsymbol{A}}\quad a_1=\frac{|\boldsymbol{A}_2|}{\boldsymbol{A}}$

$a_2=\frac{|\boldsymbol{A}_2|}{\boldsymbol{A}}\quad a_3=\frac{|\boldsymbol{A}_3|}{\boldsymbol{A}}$

其中

$|\boldsymbol{A}_1|=\begin{vmatrix}\color{blue}{3}&1&1^2&1^3\\ \color{blue}{5}&2&2^2&2^3\\ \color{blue}{2}&4&4^2&4^3\\ \color{blue}{4}&5&5^2&5^3\end{vmatrix}=-432\quad |\boldsymbol{A}_2|=\begin{vmatrix}1&\color{blue}{3}&1^2&1^3\\ 1&\color{blue}{5}&2^2&2^3\\ 1&\color{blue}{2}&4^2&4^3\\ 1&\color{blue}{4}&5^2&5^3\end{vmatrix}=984$

$|\boldsymbol{A}_3|=\begin{vmatrix}1&1&\color{blue}{3}&1^3\\ 1&2&\color{blue}{5}&2^3\\ 1&4&\color{blue}{2}&4^3\\ 1&5&\color{blue}{4}&5^3\end{vmatrix}=-378\quad |\boldsymbol{A}_4|=\begin{vmatrix}1&1&1^2&\color{blue}{3}\\ 1&2&2^2&\color{blue}{5}\\ 1&4&4^2&\color{blue}{2}\\ 1&5&5^2&\color{blue}{4}\end{vmatrix}=42$

这样就可以计算出

$a_0=-6\quad a_1=\frac{41}{3}\quad a_2=-\frac{21}{4}\quad a_3=\frac{7}{12}$

(3)将 $a_0,a_1,a_2,a_3$ 的值带回多项式，可以得到曲线的表达式为

$y=-6+\frac{41}{3}x-\frac{21}{4}x^2+\frac{7}{12}x^3$

4 结论

有了曲线的表达式，我们可以很容易的计算出，当 $x=3$ 时， $y=3.5$

也就是说，根据插值，我们计算出星期三火星距离地球为3.5万公里

5 一点补充

插值的方法有很多，除了本文介绍方法外，还有牛顿插值法、拉格朗日插值法等。感兴趣的同学，可以在我们的微信公众号《马同学图解数学》中，回复相应关键字查看

如何用范德蒙行列式完成插值相关推荐

如何用教科书式的方法，着手分析一个行业？
引言假设,现在让你一周了解船舶业,面对一个闻所未闻的行业,你怎么分析? 你知道这个行业排名前十的企业吗? 你知道这个行业这几年的发展趋势吗? 你知道这个行业有什么技术吗? 你知道这个行业的客户都来自 ...
自动控制原理：如何用折线式伯德图计算截止频率？
在自动控制原理课程中,利用折线式伯德图计算截止频率是很常见的题型,下面介绍两种做法. 对于以下传递函数: G(s)=50s2(s2+s+1)(10s+1)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5 ...
如何用沉浸式叙事做品牌营销｜技术就是沉浸式的全部吗？
NSR (NeXT SCENE Research) 位于纽约哥伦比亚大学创业实验室,是最专业和先锋的沉浸式体验报道媒体和社群.致力于促进艺术和新技术融合,打破传统剧场舞台的边界,探索未来体验式娱乐的发 ...
如何用行式 Excel 数据制作不定行列的分组交叉统计表
需求说明现在有某月产品销售明细数据的 Excel 文件,各订单数据按行存放,如下要求根据"客户地区"和"产品类别"分组,具体地区及类别根据 Excel 对应 ...
插值算法之：拉格朗日插值
记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点[这里说的都是二维插值,多维上的以此类推] 1.插值问题:在做实验的过程中,往往得到一堆离散的数据,现在想用数学公式模拟这堆离散数据.怎么办,数学家们提出了插值问 ...
拉格朗日插值——基于scipy实现
python 实现 from scipy.interpolate import lagrange x = [3, 6, 9] y = [10, 8, 4] lagrange(x,y) #poly1d ...
BZOJ3453 XLkxc（拉格朗日插值）
显然f(i)是一个k+2项式,g(x)是f(i)的前缀和,则显然其是k+3项式,插值即可.最后要求的东西大胆猜想是个k+4项式继续插值就做完了.注意2p>maxint-- #include< ...
得力如何用计算机算行列式,行列式的计算方法(课堂讲解版).docx
行列式的计算方法(课堂讲解版).docx 计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(按照某一列或某一行展开完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算 ...
2D弹簧质点系统的隐式求解
2D弹簧质点系统的隐式求解本文主要记录如何用隐式方法求解弹簧质点系统,也是对Games201课程作业一的总结. 本文主要分为以下几个部分: 弹簧质点系统的简单介绍隐式方法的推导 Jacobi矩阵的 ...
广义范德蒙德行列式计算
Generalized Vandermonde Matrix http://10.12.0.10/www.hrpub.org/download/201309/ujam.2013.010209.pdf ...

如何用范德蒙行列式完成插值

如何用范德蒙行列式完成插值相关推荐

最新文章

热门文章