在自动控制原理课程中，利用折线式伯德图计算截止频率是很常见的题型，下面介绍两种做法。

对于以下传递函数：
G(s)=50s2(s2+s+1)(10s+1)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s){G(s)=\frac{50}{s^2(s^2+s+1)(10s+1)}=G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)}G(s)=s2(s2+s+1)(10s+1)50=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)
其中：
G1(s)=50，比例环节{G_1(s)=50，比例环节}G1(s)=50，比例环节
G2(s)=1s，积分环节{G_2(s)=\frac{1}{s}，积分环节}G2(s)=s1，积分环节
G3(s)=1s，积分环节{G_3(s)=\frac{1}{s}，积分环节}G3(s)=s1，积分环节
G4(s)=1s2+s+1，振荡环节，ω1=1rad/s{G_4(s)=\frac{1}{s^2+s+1}，振荡环节，\omega_1=1rad/s}G4(s)=s2+s+11，振荡环节，ω1=1rad/s
G5(s)=110s+1，延时环节，ω2=0.1rad/s{G_5(s)=\frac{1}{10s+1}，延时环节，\omega_2=0.1rad/s}G5(s)=10s+11，延时环节，ω2=0.1rad/s
首先画出伯德图的草图：

在卡西欧计算器上，利用未经化简的L(ω){L(\omega)}L(ω)求解的结果是ωc=1.4193rad/s{\omega_c=1.4193rad/s}ωc=1.4193rad/s，该值作为本文的真值。

方法一：利用L(ω){L(\omega)}L(ω)的分段函数特点

利用[1]中的方法（具体思路不再重复），可以求出转折频率的估计值：
（1）假设ωc<0.1rad/s{\omega_c<0.1rad/s}ωc<0.1rad/s，只考虑比例和积分环节，则有L(ω)=20lg(50)−40lg(ω){L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)}L(ω)=20lg(50)−40lg(ω)
令L(ω)=0{L(\omega)=0}L(ω)=0，解得ω=50{\omega=\sqrt{50}}ω=50，不符合假设，舍去。
（2）假设0.1rad/s<ωc<1rad/s{0.1rad/s<\omega_c<1rad/s}0.1rad/s<ωc<1rad/s，不考虑振荡环节，则有
L(ω)=20lg(50)−40lg(ω)−20lg(10ω){L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)-20lg(10\omega)}L(ω)=20lg(50)−40lg(ω)−20lg(10ω)
令L(ω)=0{L(\omega)=0}L(ω)=0，解得ω=53{\omega=\sqrt[3]{5}}ω=35，不符合假设，舍去。
（3）假设ωc>1rad/s{\omega_c>1rad/s}ωc>1rad/s，则有
L(ω)=20lg(50)−40lg(ω)−20lg(10ω)−40lg(ω){L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)-20lg(10\omega)-40lg(\omega)}L(ω)=20lg(50)−40lg(ω)−20lg(10ω)−40lg(ω)
令L(ω)=0{L(\omega)=0}L(ω)=0，解得ω=55=1.3797rad/s{\omega=\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s}ω=55=1.3797rad/s，符合假设，是正确的截止频率。

方法二：利用ω{\omega}ω靠近零处的特点

当ω{\omega}ω很小时，除了积分环节，其他环节都可以忽略，因此：
L(ω)=20lg(50)−40lg(ω){L(\omega)=20lg(50)-40lg(\omega)}L(ω)=20lg(50)−40lg(ω)
取ω=0.01rad/s{\omega=0.01rad/s}ω=0.01rad/s，有L(0.01)=20lg(50)+80{L(0.01)=20lg(50)+80}L(0.01)=20lg(50)+80
从ω=0.01rad/s{\omega=0.01rad/s}ω=0.01rad/s开始，L(ω){L(\omega)}L(ω)不断下降，因此可以把ωc{\omega_c}ωc看作是下降过程中的一点。从ω=0.01rad/s{\omega=0.01rad/s}ω=0.01rad/s处下降到ωc{\omega_c}ωc处，L(ω){L(\omega)}L(ω)首先经过了ω=0.1rad/s{\omega=0.1rad/s}ω=0.1rad/s，然后经过了ω=1rad/s{\omega=1rad/s}ω=1rad/s，由此画出下面的阶梯图：

对于图中折线的斜率，例如-40dB/dec，表示ω{\omega}ω每增大10倍，L(ω){L(\omega)}L(ω)就减小40，其余的同理。
因此，可以直接写出L(ωc){L(\omega_c)}L(ωc)的表达式：
L(ωc)=L(0.01)−40−60−100lg(ωc)−lg(1)lg(10)−lg(1)=0{L(\omega_c)=L(0.01)-40-60-100\frac{lg(\omega_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=0}L(ωc)=L(0.01)−40−60−100lg(10)−lg(1)lg(ωc)−lg(1)=0
前面很好理解，最后一项是什么呢？不妨将-100dB/dec的直线延伸到ω=10rad/s{\omega=10rad/s}ω=10rad/s看看：

从ω=1rad/s{\omega=1rad/s}ω=1rad/s处到ω=10rad/s{\omega=10rad/s}ω=10rad/s处，L(ω){L(\omega)}L(ω)减小了10。而图中的红色和黄色两个三角形是相似的，假设从ω=1rad/s{\omega=1rad/s}ω=1rad/s处到ωc{\omega_c}ωc处下降了x{x}x，根据比例关系很容易有：
lg(ωc)−lg(1)lg(10)−lg(1)=x100{\frac{lg(\omega_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=\frac{x}{100}}lg(10)−lg(1)lg(ωc)−lg(1)=100x
用这种方法求出
ωc=10lg(5)5=55=1.3797rad/s{\omega_c=10^\frac{lg(5)}{5}=\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s}ωc=105lg(5)=55=1.3797rad/s
与方法一的结论是相同的。

补充：
根据评论区carrot@的建议，最后“从ω=1rad/s{\omega=1rad/s}ω=1rad/s处到ω=ωcrad/s{\omega=\omega_c rad/s}ω=ωcrad/s处”也可以这么做：
假设w=aw=aw=a时，L(a)=xL(a)=xL(a)=x，ωc\omega_cωc在aaa的右侧。用d表示对数坐标系下横坐标到原点的长度，则有d1=lg(a),d2=lg(ωc)d_1=lg(a), d_2=lg(\omega_c)d1=lg(a),d2=lg(ωc)。以ddd为自变量，可以写出直线lll的方程如图。

如上，求出y=0y=0y=0时的ωc\omega_cωc表达式，然后代入xxx即可。

总结

从结果来看，两种方法得到的结论是相同的，且都和计算器求解的结果比较接近，但是方法二的求解过程明显更简单，做题更节省时间。

参考文献

[1] https://wenku.baidu.com/view/f6abcd52dd36a32d73758182.html

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自动控制原理：如何用折线式伯德图计算截止频率？

方法一：利用L(ω){L(\omega)}L(ω)的分段函数特点

方法二：利用ω{\omega}ω靠近零处的特点

总结

参考文献

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