主要内容

本章以列昂惕夫生产消费模型为例，讲解了矩阵在实际生活中的应用。

列昂惕夫投入产出模型

列昂惕夫是著名的经济学家，曾经获得诺贝尔奖，其中线性代数为他获得诺奖提供了重要帮助。

有这么一个复杂的经济命题：

假设某国的经济体系分为nnn个部门，这些部门分别生产不同类型的产品，例如制造业、农业产品、服务业业产品。可以用Rn\mathbb R^nRn中的向量x\boldsymbol xx来代表这个产出向量，x\boldsymbol xx中的每一个元素代表一个不同类型的产品。另外，用向量d\boldsymbol dd代表需求向量，也就是社会需要消耗多少产品。理想情况下，如果要保持生产和消费的平衡，只要保证x=d\boldsymbol x = \boldsymbol dx=d即可。但实际上，每个部门在生产的同时，也需要进行消费，例如，制造业部门虽然产出工业产品，但要维持它的运转，它在产出时也需要消耗一定的制造业产品、农业产品、服务业产品，这种额外的消费被称作中间需求。这就使得问题变得复杂了起来。

针对如上问题，为了评估各生产部门的中间需求，计算列昂惕夫提出了一种建模的方法：

针对每个部门，都有一个Rn\mathbb R^nRn中的单位消费向量，它列出了该部门的单位产出所需的投入。
如下图所示，每一列代表了每个部门的单位消费向量，其中制造业、农业、服务业的单位消费向量分别是：c1=[0.500.200.10]\boldsymbol c_1 = \begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}c1=⎣⎡0.500.200.10⎦⎤，c2=[0.400.300.10]\boldsymbol c_2=\begin{bmatrix}0.40 \\ 0.30 \\ 0.10\end{bmatrix}c2=⎣⎡0.400.300.10⎦⎤，c3=[0.200.100.30]\boldsymbol c_3 = \begin{bmatrix}0.20 \\ 0.10 \\ 0.30\end{bmatrix}c3=⎣⎡0.200.100.30⎦⎤，每个向量代表了每生产该1单位（通常以100万美元作为单位）该产品时，需要消耗多少其他产品。

举例：
如果制造业决定生产100单位产品，它将消费多少？

解：

计算：
100c1=100[0.500.200.10]=[502010]100\boldsymbol c_1 = 100\begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}50 \\ 20 \\ 10\end{bmatrix}100c1=100⎣⎡0.500.200.10⎦⎤=⎣⎡502010⎦⎤
可知，制造业每生产100单位产品，就要消耗制造业自身产出的50单位产品，并消费掉20单位农业产品，以及10单位服务业产品。

由上例，可以启发我们如何计算中间需求。假设制造业、农业、服务业分别决定生产x1x_1x1，x2x_2x2，x3x_3x3单位产出，那么它们造成的总的中间需求为：
x1c1+x2c2+x3c3=Cxx_1\boldsymbol c_1 + x_2\boldsymbol c_2 + x_3\boldsymbol c_3 = C\boldsymbol xx1c1+x2c2+x3c3=Cx
其中，CCC是消耗矩阵[c1c2c3]\begin{bmatrix}\boldsymbol c_1 & \boldsymbol c_2 & \boldsymbol c_3\end{bmatrix}[c1c2c3]，也就是：C=[0.500.400.200.200.300.100.100.100.30]C = \begin{bmatrix}0.50 & 0.40 & 0.20 \\ 0.20 & 0.30 & 0.10 \\ 0.10 & 0.10 & 0.30\end{bmatrix}C=⎣⎡0.500.200.100.400.300.100.200.100.30⎦⎤。

现在，我们已经能够表达中间需求了，由于总产出=中间需求+社会需求，那么自然可以得出如下表达式：
x=Cx+d\boldsymbol x = C\boldsymbol x + \boldsymbol dx=Cx+d
上式可以重写为：
(I−C)x=d(\boldsymbol I - C)\boldsymbol x = \boldsymbol d(I−C)x=d
现在，只要知道社会需求d\boldsymbol dd是多少，我们就能够做出预算，也就是每个部门的生产量x\boldsymbol xx。
例：

假设社会需求是制造业50单位，农业30单位，服务业20单位，求生产水平x\boldsymbol xx。

解：

I−C=[100010001]−[0.50.40.20.20.30.10.10.10.3]=[0.5−0.4−0.2−0.20.7−0.1−0.1−0.10.7]\boldsymbol I - C = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0.5 & 0.4 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & 0.7\end{bmatrix}I−C=⎣⎡100010001⎦⎤−⎣⎡0.50.20.10.40.30.10.20.10.3⎦⎤=⎣⎡0.5−0.2−0.1−0.40.7−0.1−0.2−0.10.7⎦⎤
化简增广矩阵：
[0.5−0.4−0.250−0.20.7−0.130−0.1−0.10.720]∼[10022601011900178]\begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 & 50 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 & 30 \\-0.1 & -0.1 & 0.7 & 20\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 226 \\0 & 1 & 0 & 119 \\0 & 0 & 1 & 78\end{bmatrix}⎣⎡0.5−0.2−0.1−0.40.7−0.1−0.2−0.10.7503020⎦⎤∼⎣⎡10001000122611978⎦⎤
可知，制造业需要226单位，农业119单位，服务业78单位。

若I−C\boldsymbol I - CI−C可逆，则可以直接使用逆矩阵定理，得出x=(I−C)−1d\boldsymbol x = (\boldsymbol I - C)^{-1}\boldsymbol dx=(I−C)−1d。可以通过证明得知，在大部分实际情况中（CCC中每一列的和小于1，因为每个部门生产一单位产出所需投入的总价值应该小于1），I−C\boldsymbol I - CI−C是可逆的，而且产出向量x\boldsymbol xx是经济上可行的，也就是说，x\boldsymbol xx中的元素是非负的，这里略去不讲。

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