高等数学(下)知识点总结
高等数学(下)知识点总结
首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目:
类比平面解析几何,不难得出如下的夹角与距离的概念:
研究完平面,我们研究直线。直线也有下面三种方程:
计算夹角的方法如下:
用好过直线的平面束,可以解决很多问题:
研究完直线,我们研究曲线。曲线有如下形式的一般方程:
曲线也可用参数方程表达:
我们还有投影的概念:
研究空间解析几何,一定程度上为多元函数的研究提供了基础,多元函数的最基本概念请同学们牢记:
随后我们研究了偏导数:
以及高阶偏导数:
用好全微分的概念,可以处理很多计算偏导数的题目:
研究完最简单的偏导数,我们想研究复合函数的偏导数。由于复合方法多种多样,也有如下两种不同的情形:
隐函数定理压轴登场!一个方程的情形,计算偏导数的公式如下:
方程组联立的情形下,我们引入了雅可比行列式的概念,方法如下。乍一看公式似乎很复杂,实际就是解一个线性方程组~
除了在坐标轴方向有偏导数,我们在任意方向都可以定义方向导数。自然要用到梯度的概念:
多元函数微分学反过来对第一章的空间解析几何提供了方法:
在没有限制条件的情况下,我们可以借助偏导数求出多元函数的极值:
接触过中学数学竞赛的同学会被中学数学竞赛那细微的放缩以及“先猜后证”弄得晕头转向,而这里的拉格朗日乘子法,让你秒杀多元条件极值问题!
上学期同学们学习了定积分、反常积分,不过有的特定的反常积分是无法用传统方法解出来的。这就要借助我们的重积分了。类比定积分,二重积分有以下两个性质:
如何计算重积分,可以说是高数中的关键部分。一般来说,我们把积分区域划分成如下两种区域,再进行求解,实际上,我们还是在做定积分。必要的时候,还要交换积分次序。
三重积分最基本的计算方法有两种,我们的思想就是把三重积分转化为二重积分和定积分,这两种方法分别叫“先一后二”和“先二后一”:
当然,有时候利用对称性,可以大大简化问题:
我们还介绍了柱坐标系、球坐标系,其体积元可以借助雅可比行列式计算出。这两种坐标系常常能简化问题,就如同二重积分中的极坐标一样。
重积分后,我们有线、面积分:
曲线积分的一般方法如下:
曲面积分的一般方法如下:
接下来是本章最重要的公式之一——格林公式及其推论:
同为最重要的公式之一——高斯公式:
学期的最后,我们学习了级数的相关理论,审敛法需牢记~
我们又讲了两种重要的函数项级数——幂级数和傅里叶级数。幂级数其实同学们在学泰勒公式的时候已经接触到了~而傅里叶级数,以三角级数拟合一般的周期函数,它的提出是一种非常伟大的想法。傅里叶级数的公式稍微复杂,请同学们记住有关公式和结论,不要弄混淆了~
至此,高数(下)的内容就回顾完了。
转自:https://www.sohu.com/a/239378031_185748
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