信号的频域分析

一、时域加窗
- 频谱泄露
- - 产生频谱泄露的原因是什么？
  - 如何抑制这一现象？
二、频率分辨率
- 频率分辨率如何计算？
- 怎样提高频率分辨率？
三、频域采样
- 栅栏效应
- 如何缓解栅栏效应？
四、MATLAB代码
参考文献

一、时域加窗

现实生活中的信号大部分是连续的，通过对连续的信号进行采样得到散时间信号，但是计算机所能处理的数据都是有限长的，因而我们可以对原始序列做加窗处理使其成为有限长序列。
以矩形窗为例，其时域表达式为：
式(1)中，N=M+1N=M+1N=M+1，为矩形窗的长度。

对无限长序列进行加窗处理，就是对序列在时域上乘以一个窗函数。
由卷积定理可以得到，时域的相乘等于频域的卷积。

设仿真信号的时域表达式为：
x(t)=A0∗cos(2πf0t)+A1∗cos(2πf1t)x(t)=A_{0}*cos(2πf_{0}t)+A_{1}*cos(2πf_{1}t) x(t)=A0∗cos(2πf0t)+A1∗cos(2πf1t)
x(t)x(t)x(t)做傅里叶变换（FT）的频域表达式为：
X(jΩ)=A0πδ(Ω+Ω0)+A0πδ(Ω−Ω0)+A1πδ(Ω+Ω0)+A1πδ(Ω−Ω0)X(jΩ)=A_{0}πδ(Ω+Ω_{0})+A_{0}πδ(Ω-Ω_{0})+A_{1}πδ(Ω+Ω_{0})+A_{1}πδ(Ω-Ω_{0})X(jΩ)=A0πδ(Ω+Ω0)+A0πδ(Ω−Ω0)+A1πδ(Ω+Ω0)+A1πδ(Ω−Ω0)
连续信号x(t)x(t)x(t)的波形及频谱如图1所示。

连续信号x(t)x(t)x(t)经过采样后，得到的离散时间的表达式为：
x[n]=x(t)∣t=nTsx[n]=x(t)|_{t=nT_{s}} x[n]=x(t)∣t=nTs
离散序列x[n]x[n]x[n]做离散时间傅里叶变换（DTFT）的频域表达式为：
X(ejw)=1Ts∑k=−∞∞X(jwTs−jk2πTs)X(e^{jw})=\frac{1}{T_{s}}\sum_{k=-∞}^{∞}X(j\frac{w}{T_{s}}-jk\frac{2π}{T_{s}})X(ejw)=Ts1k=−∞∑∞X(jTsw−jkTs2π)
离散序列x[n]x[n]x[n]的波形及频谱如图2所示。

矩形窗函数w[n]w[n]w[n]做离散时间傅里叶变换（DTFT）的频域表达式为：
W(ejw)=e−jw(N−1)/2∗sin(wN/2)sin(w/2)W(e^{jw})=e^{-jw(N-1)/2} *\frac{sin(wN/2)}{sin(w/2)}W(ejw)=e−jw(N−1)/2∗sin(w/2)sin(wN/2)

矩形窗函数w[n]w[n]w[n]的波形及频谱如图3所示。

离散序列x[n]x[n]x[n]与窗函数w[n]w[n]w[n]的卷积为：
V(ejw)=12π∫−ππX(ejθ)W(ej(w−θ))dθ=A02W(ej(w+w0))+A02W(ej(w−w0))+A12W(ej(w+w0))+A12W(ej(w−w0))V(e^{jw})=\frac{1}{2π}\int_{-π}^{π}X(e^{jθ})W(e^{j(w-θ)})dθ=\frac{A_{0}}{2}W(e^{j(w+w_{0})})+\frac{A_{0}}{2}W(e^{j(w-w_{0})})+\frac{A_{1}}{2}W(e^{j(w+w_{0})})+\frac{A_{1}}{2}W(e^{j(w-w_{0})})V(ejw)=2π1∫−ππX(ejθ)W(ej(w−θ))dθ=2A0W(ej(w+w0))+2A0W(ej(w−w0))+2A1W(ej(w+w0))+2A1W(ej(w−w0))
截断后的离散序列v[n]v[n]v[n]的波形及频谱如图4所示。

频谱泄露

信号的频率成分包括1MHz和1.05MHz，1MHz对应的幅值为1，但是1.05MHz的幅值减小了，且在其他频率点上都有不小的幅值。这就是出现了频谱泄露的现象。

产生频谱泄露的原因是什么？

由于计算机只能处理有限长的数据，所以需要对采集的信号进行截断，相当于对原始信号做了加窗处理。对信号加窗就是对信号在时域上乘以一个窗函数，时域的乘积对应频域的卷积，而窗函数的频域包括主瓣和旁瓣，旁瓣造成了信号频谱的泄漏。频域泄漏不可避免，只能减小。

如何抑制这一现象？

可以取更长的数据点，与原始数据越接近越好，但缺点就是运算量加大；
可以选择窗谱的旁瓣能量较小的窗函数。
典型的窗函数中，矩形窗的频率分辨率最高，旁瓣泄露最大。

二、频率分辨率

频率分辨率如何计算？

为了便于理解什么是频率分辨率，可以将频率分辨率划分为两种类型，一种是波形频率分辨率（Waveform Frequency Resolution，简记为波形分辨率），也称为视觉频率分辨率，另一种则为FFT频率分辨率（简记为FFT分辨率）。

波形分辨率：在频谱图中，两个频率可以被分辨率的最小间隔，与原始信号的时间长度有关。
△Rw=1T△R_{w}=\frac{1}{T} △Rw=T1
其中，TTT为原始数据的时长。

FFT分辨率：在频谱图中的数据点数，跟信号做FFT计算时的点数有关。
△Rfft=FsNfft△R_{fft}=\frac{F_{s}}{N_{fft}} △Rfft=NfftFs
其中，FsF_{s}Fs为采样频率，NfftN_{fft}Nfft为信号做FFT计算时的点数。

怎样提高频率分辨率？

例如，有一个复合信号的时域表达式为x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)x(t)=cos(2πf_{1}t)+cos(2πf_{2}t)x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)
其中f1=1MHzf_{1}=1MHzf1=1MHz，f2=1.05MHzf_{2}=1.05MHzf2=1.05MHz。x(t)x(t)x(t)的波形及频谱如图6所示。

由上图中的频谱可以发现，在1MHz附近两个频率出现混叠，无法有效区分1MHz和1.05MHz，说明频率分辨率不够。

对时域数据进行补零，能否改变频率分辨率呢？例如在原始数据点后面再补充6000个数值为0的点，对信号本身数据没有影响，只是增加了参与FFT计算的数据点数，得到信号的波形及频谱如图7所示。

通过对原始数据进行补零操作，在频谱图中的数据点更密集了。但是仍然无法区分1MHz和1.05MHz，由此证明信号的波形频率分辨率与参与FFT计算的数据点数NfftN_{fft}Nfft无关，只与原始数据的时长TTT有关。在时域上补零等价于频域上进行插值，由此增加了频率的点数，使得频谱曲线变得更光滑，即增加了FFT频率分辨率。

为了有效区分1MHz和1.05MHz，必须延长原始数据的时长以提高波形分辨率。以相同的采样频率对原始信号进行采样，采集7000个数据点。得到信号的波形及频谱如图8所示。

有图8可见，1MHz和1.05MHz可以被区分开，但是也出现了频谱泄露现象。此时信号的波形分辨率为：△Rw=170us≈14KHz△R_{w}=\frac{1}{70us}≈14KHz△Rw=70us1≈14KHz，小于1MHz和1.05MHz之间的距离50KHz50KHz50KHz。

为了减小频谱泄露，对原始信号取更长的数据点，采集8000个数据点。得到信号的波形及频谱如图9所示。

由图9可知，1MHz和1.05MHz对应的幅值均为1，且可以有效的区分开，此时信号的FFT分辨率为：△Rfft=Fs8000=12.5KHz△R_{fft}=\frac{F_{s}}{8000}=12.5KHz△Rfft=8000Fs=12.5KHz，刚好是1MHz和1.05MHz的公约数，即1MHz=12.5KHz×801MHz=12.5KHz×801MHz=12.5KHz×80，1.05MHz=12.5KHz×841.05MHz=12.5KHz×841.05MHz=12.5KHz×84。
所以取合适长度的数据点可以减轻频谱泄露。

三、频域采样

周期序列的DFS的系数X(k)X(k)X(k)与x(n)x(n)x(n)的一个周期的ZZZ变换在单位圆的NNN个均匀点上的抽样值相等，这就是频域采样。

频域采样定理：
当N≥LN≥LN≥L，即DFT计算的频域采样点数大于等于信号的长度时，频域采样不会造成时域混叠。
有限长序列x(n)x(n)x(n)的ZZZ变换为：
X(Z)=∑n=0N−1x(n)Z−n=∑n=0N−1[1N∑k=0N−1X(k)WN−kn]Z−n=1−Z−NN∑k=0N−1X(k)1−WN−kZ−1X(Z)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)Z^{-n}=\sum_{n=0}^{N-1}[\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-kn}]Z^{-n}=\frac{1-Z^{-N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{X(k)}{1-W_{N}^{-k}Z^{-1}} X(Z)=n=0∑N−1x(n)Z−n=n=0∑N−1[N1k=0∑N−1X(k)WN−kn]Z−n=N1−Z−Nk=0∑N−11−WN−kZ−1X(k)
其中，WN−kn=ej2πknNW_{N}^{-kn}=e^{j\frac{2πkn}{N}}WN−kn=ejN2πkn，WN−k=ej2πkNW_{N}^{-k}=e^{j\frac{2πk}{N}}WN−k=ejN2πk。

栅栏效应

在进行DFT计算时需要对信号的频域进行采样，由于采样间隔为△w=2πN△w=\frac{2π}{N}△w=N2π，得到的频谱图都是由一根根离散的谱线组成，就像透过栅栏观看外景。

如何缓解栅栏效应？

增加频域采样点数N（不改变时域数据的情况下，在时域数据末端添加一些零值点，使得谱线更密），可缩小谱线间距，减轻栅栏效应。

四、MATLAB代码

%% 1000个数据点的波形及频谱
clc;
clear;
close all;Fs = 100e6;             % 采样频率
f1 = 1e6;f2 = 1.05e6;   % 信号的频率
T = 1/Fs;               % 采样周期
L0 = 1000;              % 信号长度
L = 1000;               % 数据长度
t0 = (0:L0-1)*T;        % 信号时间序列
t = (0:L-1)*T;          % 数据时间序列
x = cos(2*pi*f1*t0)+cos(2*pi*f2*t0);  % 原始信号% FFT
[f1,A1] = PinPu(x,Fs);
figure(1)
subplot(1,2,1);plot(t*1e6,x);
xlabel('t/us');title('时域');
subplot(1,2,2);plot(f1,A1);
xlabel('f/Hz');title('频域');xlim([0 2e6]);

%% 出现了频谱泄露现象
clc;
clear;
close all;Fs = 100e6;             % 采样频率
f1 = 1e6;f2 = 1.05e6;   % 信号的频率
T = 1/Fs;               % 采样周期
L0 = 7000;              % 信号长度
L = 7000;               % 数据长度
t0 = (0:L0-1)*T;        % 信号时间序列
t = (0:L-1)*T;          % 数据时间序列
x = cos(2*pi*f1*t0)+cos(2*pi*f2*t0);  % 原始信号
% FFT
[f1,A1] = PinPu(x,Fs);
figure(1)
subplot(1,2,1);plot(t*1e6,x);
xlabel('t/us');title('时域');
subplot(1,2,2);plot(f1,A1);
xlabel('f/Hz');title('频域');xlim([0 2e6]);

%% 8000个数据点的波形及频谱，提升了频率分辨率。
clc;
clear;
close all;Fs = 100e6;             % 采样频率
f1 = 1e6;f2 = 1.05e6;   % 信号的频率
T = 1/Fs;               % 采样周期
L0 = 8000;              % 信号长度
L = 8000;               % 数据长度
t0 = (0:L0-1)*T;        % 信号时间序列
t = (0:L-1)*T;          % 数据时间序列
x = cos(2*pi*f1*t0)+cos(2*pi*f2*t0);  % 原始信号
% FFT
[f1,A1] = PinPu(x,Fs);
figure(1)
subplot(1,2,1);plot(t*1e6,x);
xlabel('t/us');title('时域');
subplot(1,2,2);plot(f1,A1);
xlabel('f/Hz');title('频域');xlim([0 2e6]);

参考文献

[1] 数字信号处理
[2] 傅里叶变换的波形分辨率与频率分辨率
[3] 补零、频谱泄露、栅栏效应的关系？

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【频域分析】频谱泄露、频率分辨率、栅栏效应