收敛数列有界的通俗理解

先来引用原课本里的理论证明吧

看似云里雾里,定义的那么多符号,似乎一遍真的还不怎么能看懂它说的什么。
唉，没办法，数学的证明都是这样。谁让数学是世界上最严谨的语言呢。
那么我们就来看看这段到底怎么理解才好。当你理解了文字背后的意思的时候，也就不用再花费那么多的时间来研究它的语言逻辑了。除非你想当数学家。
首先这里有一个数列{Xn},这里不能把它错当成函数认为n可以取负数。数列n下标的最小值只能是1。那么一个数列它收敛也就是说 limXn->A(n->无穷大)。随着n的越来越大它会越来越接近一个但是永远不会达到或者超过的数A。我们称A是数列的极限。
接着来看，第一种情况。当数列是递增数列的时候。那么数列就有一个最小值X1,当随着n的增大数列会一直接近A但不会超过A。这时候数列的取值范围就是[X1,A)。这时候数列有界
同理当数列为递减数列时数列的取值范围就是（A,X1]。也能得到数列有界。
接下来看最后一种情况就是当数列没有单调性时收敛的情况。
你想，一个数列收敛且没有单调性会是怎样的呢？
不管它是怎样的一个图像，它随着n的增大肯定是会往A那边缩的。我们用一个抽象的图来理解一下。
像这种收敛但不单调的数列它的值只能在x轴上下振动并向A慢慢靠近一直靠到一个极限。
那么问题来了它是有界的吧？我们知道L1,L2是数列上下值最大所到的距离,因为是收敛数列那么它的值都是振动地向A那边收缩。所以也是有界的为[-L2,L1]

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