张量分解在无线通信和MIMO雷达中的概述

第一部分：张量概念

  张量是一个多维数组。 一阶张量是向量，二阶张量是矩阵，三阶或三阶以上张量是广义矩阵，称为高阶张量。张量代数由是矩阵代数的推广。对于三阶接收信号张量，每个信号样本都是三阶张量的元件，并由三个指数表示，每个指数都与接收信号的特定类型的系统变化有关。在这种三维空间中，接收到的信号张量的每一面都可以解释为信号“多样性”的一种特殊形式。在大多少情况下，三维中的两维表示空间和时间，第三维取决于具体无线通信系统。

第二部分：张量基本运算和分解

一、张量的基本运算

克罗内克积（两个矩阵）
KR积（两个矩阵）
注：KR积符号一般用⊙表示，KR积是列向量的克罗内克积。
内积（两个张量）
外积（两个张量）
张量与矩阵的n模积

可以将其转换为二维矩阵形式运算：
秩-1张量
张量的秩

一般来说，更高阶张量的秩定义为秩-1张量的最小个数，这些张量的线性组合得到高阶张量。
张量的k-秩

也就是说，对于一个给定的矩阵
，当且仅当A包含至少r个独立的列时，A的秩为
。如果矩阵A的任意k列独立你，则A的k-秩
二、张量的分解
1.Tucker分解：把一个张量分解成同阶的核心张量和一些因子矩阵。

2.CP分解：将张量分解为秩-1张量之和。

注：Tucker分解和CP分解可以看作是主成分分析（PCA）和矩阵奇异值分解（SVD）的高阶推广。

第三部分：无线通信中的应用

第四部分：MIMO雷达中的应用

MIMO雷达中固有的高维信号结构为目标参数估计和发射波束形成问题提供了基于张量的信号处理方法。
一、MIMO雷达中张量用于目标参数估计（特别是角度估计）
M：发射天线数
N:接收天线数
Q:脉冲数
CPI：相干处理间隔
P:目标数
匹配滤波后的接收信号为

Swerling I模型：在一个CPI中RCS系数是恒定的
Swerling II模型：RCS系数随脉冲数变化
二、MIMO雷达中的张量用于发射阵列插值和波束空间设计
与波形设计一起，TB( transmit beamspace,发射波束空间)设计是MIMO雷达的基本问题之一。在设计TB时，可以通过单站MIMO雷达发射阵列的TB矩阵来保证接收阵列的旋转不变性(RIP)等特性。它对于显著降低解决目标定位问题（如AoA估计-二维阵列的方位角和仰角）的复杂性特别有用。如果在两个以上的虚拟子阵列之间保证RIP(通过RIP相互关联的两个子阵列的解是经典的ESPRIT)，则MIMO雷达中接收到的信号可以用张量表示，由此张量成为了设计定位算法的主要工具。

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