【考研数学】函数图像(三角函数、幂函数、指数函数等)
函数图像
- 三角函数公式
- 三角函数与反三角函数
- 1.正弦函数 sin x， 反正弦函数 arcsin x
- 余割函数 csc x=1/sin x
- 2.余弦函数 cos x， 反余弦函数 arccos x
- 正割函数 sec x=1/cos x
- 3.对比：反正弦函数 arcsin x， 反余弦函数 arccos x
- 4.正切函数 tan x， 余切函数 cot x
- 5.反正切函数 arctan x， 反余切函数 arccot x
- 幂函数
- 指数和对数函数
三角函数公式
诱导公式
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α)=－sinα
cos(π+α)=－cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin(－α)=－sinα
cos(－α)=cosα
tan(－α)=－tanα
cot(－α)=－cotα
公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π－α)=sinα
cos(π－α)=－cosα
tan(π－α)=－tanα
cot(π－α)=－cotα
公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π－α)=－sinα
cos(2π－α)=cosα
tan(2π－α)=－tanα
cot(2π－α)=－cotα
公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin(π/2+α)=cosα
sin(π/2－α)=cosα
cos(π/2+α)=－sinα
cos(π/2－α)=sinα
tan(π/2+α)= -cotα=-1/tanα
tan(π/2－α)=cotα=1/tanα
cot(π/2+α)=－tanα
cot(π/2－α)=tanα
倒数关系：
tanx⋅cotx=1sinx⋅cscx=1cosx⋅secx=1tanx · cotx=1\\sinx · cscx=1\\cosx · secx=1tanx⋅cotx=1sinx⋅cscx=1cosx⋅secx=1
商的关系:
tanx=sinxcosx=secxcscxtanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{secx}{cscx}tanx=cosxsinx=cscxsecx
平方关系：
sin2x+cox2x=11+tan2x=sec2x1+cot2x=csc2x{sin}^{2}x+{cox}^{2}x=1\\1+{tan}^{2}x={sec}^{2}x\\1+cot^2x=csc^2xsin2x+cox2x=11+tan2x=sec2x1+cot2x=csc2x
两角和差公式：
sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy±sinxsinytanx(x+y)=tanx+tany1−tanx⋅tanytanx(x−y)=tanx−tany1+tanx⋅tanysin(x \plusmn y)=sinxcosy \plusmn cosxsiny\\ cos(x \plusmn y)=cosxcosy \plusmn sinxsiny \\tanx(x+y)=\frac{tanx+tany}{1-tanx ·tany}\\ tanx(x-y)=\frac{tanx-tany}{1+tanx ·tany}sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy±sinxsinytanx(x+y)=1−tanx⋅tanytanx+tanytanx(x−y)=1+tanx⋅tanytanx−tany
倍角公式：
sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2xtan2x=2tanx1−tan2xsin2x=2sinxcosx\\ cos2x={cos}^2{x}-{sin}^2{x}=2cos^2x-1=1-2sin^2x\\tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2xtan2x=1−tan2x2tanx
半角公式：
sin2(x2)=1−cosx2sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-cosx}{2}sin2(2x)=21−cosx
cos2(x2)=1+cosx2cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+cosx}{2}cos2(2x)=21+cosx
tan2(x2)=1−cosx1+cosxtan^2(\frac{x}{2})=\frac{1-cosx}{1+cosx}tan2(2x)=1+cosx1−cosx
万能公式：
sinx=2tan(x2)1+tan2x2sinx=\frac{2tan(\frac{x}{2})}{1+tan^2\frac{x}{2}}sinx=1+tan22x2tan(2x)
cosx=1−tan2x21+tan2x2cosx=\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}cosx=1+tan22x1−tan22x
tanx=2tan(x2)1−tan2x2tanx=\frac{2tan(\frac{x}{2})}{1-tan^2\frac{x}{2}}tanx=1−tan22x2tan(2x)
对任意非直角三角形，总有：
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
三倍角公式：
sin3x=3sinx−4sin3xcos3x=4cos3x−3cosxtan3x=3tanx−tan3x1−3tan2xsin3x=3sinx-4sin^3x\\ cos3x=4cos^3x-3cosx\\ tan3x=\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x}sin3x=3sinx−4sin3xcos3x=4cos3x−3cosxtan3x=1−3tan2x3tanx−tan3x
和差化积：
积化和差：
sinxcosy=12[sin(x+y)+sin(x−y)]cosxsiny=12[sin(x+y)−sin(x−y)]cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)]sinxsiny=12[cos(x−y)+cos(x+y)]sinxcosy=\frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]\\ cosxsiny=\frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)]\\ cosxcosy=\frac{1}{2}[cos(x+y)+cos(x-y)]\\ sinxsiny=\frac{1}{2}[cos(x-y)+cos(x +y)]sinxcosy=21[sin(x+y)+sin(x−y)]cosxsiny=21[sin(x+y)−sin(x−y)]cosxcosy=21[cos(x+y)+cos(x−y)]sinxsiny=21[cos(x−y)+cos(x+y)]
三角函数与反三角函数
在三角函数的前面加上 arc ，表示它们的反函数f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)。即由一个三角函数值得出当时的角度。
1.正弦函数 sin x， 反正弦函数 arcsin x
定义域与值域互换，关于y=x对称
余割函数 csc x=1/sin x
2.余弦函数 cos x， 反余弦函数 arccos x
正割函数 sec x=1/cos x
3.对比：反正弦函数 arcsin x， 反余弦函数 arccos x
4.正切函数 tan x， 余切函数 cot x
5.反正切函数 arctan x， 反余切函数 arccot x
幂函数
指数和对数函数
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