【密码学原理与实践】（五）希尔密码

希尔密码(Hill Cipher)

定义

设m>=2为正整数，P=C=(Z₂₆)^m,且K={定义在Z₂₆上的m×m可逆矩阵}，对任意的密钥K，定义：e_k(x)=xK和d_k(y)=yK^-1 ,以上运算都是在Z₂₆上进行的。

从一个例子开始希尔密码的学习。

引例

设m=2,每个明文单元使用x=(x₁,x₂)来表示，同样密文单元使用y=(y₁,y₂)来表示。具体加密中，y₁,y₂被表示x₁，x₂的线性组合。例如：

y₁=(11x₁+3x₂)mod26

y₂=(8x₁+7x₂)mod26

使用矩阵，可将上式简写为
(y1,y2)=(x1,x2)[11837](1)(y_1,y_2)=(x_1,x_2)\begin{bmatrix} 11 & 8 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \tag{1} (y1,y2)=(x1,x2)[11387](1)
以上的运算都是在Z₂₆上进行的，密钥K一般取为一个m×m的矩阵，记为K=(k_i,j).对于明文x=(x₁,x₂…x_m)∈P以及k属于K，按照下图方法来计算y=e_k(x)=(y₁,y₂…y_m)
(y1,y2...ym)=(x1,x2...xm)[k1,1k1,2...k1,mk2,1k2,2...k2,m...km,1km,2...km,m](2)(y_1,y_2...y_m)=(x_1,x_2...x_m)\begin{bmatrix} k_{1,1} & k_{1,2} ... & k_{1,m}\\ k_{2,1} & k_{2,2} ... & k_{2,m}\\ ...\\ k_{m,1} & k_{m,2} ... & k_{m,m}\\ \end{bmatrix} \tag{2} (y1,y2...ym)=(x1,x2...xm)⎣⎢⎢⎡k1,1k2,1...km,1k1,2...k2,2...km,2...k1,mk2,mkm,m⎦⎥⎥⎤(2)

或者也可以使用矩阵形式，直接表示为y=xK.

由上可知，密文是通过对明文进行线性变换得到的。

接下来我们主要来考虑解密的过程，也就是如何从y算出x.根据线性代数的知识我们很容易想到求矩阵的逆矩阵K^-1来进行解密变换，相应的明文应该为x=yK^-1

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