二次曲线和圆方程

前言

直线的标准方程是一次的，那么二次的方程会表示什么样的图形，有什么性质呢？

二次曲线

我们把最高项是二次项的方程所表示的图形叫做二次曲线，因为它们通常来说都是一些曲线，标准方程为：

不过实际上，我们可以通过旋转换元去掉xy这一交叉项：

探索：具体如何去除交叉项xy？

接下来我们讨论A和B是否为0，如果两个都是0，那么二次曲线就变成了一条直线。

如果AB中有一个为0，比如：

我们可以使用配方法平移换元，去掉x的一次项和常数项：

这被叫做抛物线，标准方程为：

如果AB都不为0，我们可以使用配方法，去掉非最高次项：

这时我们讨论常数项的大小，如果为0，那么二次曲线变成一个点或者两条直线。

如果常数项不为0，我们可以变形为：

AB都大于0，图像是一个椭圆，标准方程为：

这里有一种特殊情况，那就是A=B，此时图形是圆。

圆和椭圆有很多不同的几何性质，标准方程为：

AB一正一负，则图像是双曲线，标准方程为：

AB都小于0，则图像不存在，也被称为虚椭圆。

椭圆、抛物线、双曲线这些二次曲线也被叫做圆锥曲线，因为它们最早是在圆锥上被发现的。

探索：圆锥上哪些是椭圆、抛物线、双曲线？其他图形上也能找到吗？

圆方程

我们先从性质特殊，且最常见的圆开始，标准方程如下：

表示的是原点为圆心，R为半径的圆，如图是R=2的圆：

通过平移我们能得到任何一个圆，当圆心为(a,b)时，圆心从原点开始移动的向量为(a,b)，所有的点也都按照这个平移向量来移动：

代入原来的圆方程有：

当然也可以通过勾股定理或者向量模长来记忆，上面的方程表示到点(a,b)的距离为R。

将其展开后就是圆的一般方程：

根据配方法可以相互转换，很容易知道圆心是

。

圆无论怎么旋转方程都不变，不存在xy交叉项。

探索：怎么证明圆方程不存在xy交叉项？

练习：对圆的一般方程，求半径。

点线和圆

对于一个点(c,d)和圆心(a,b)，求两点间的距离，再和半径进行比较，就可以知道一个点是在圆内，圆上，还是圆外。

即计算：

事实上这个计算结果有一个专有名词，圆幂，表示点到圆心的距离平方减去半径的平方，在几何中有许多和圆幂相关的定理。

根据标准方程，可以知道圆幂的另一种计算方法就是代入一般式方程：

很容易看出，圆外的点圆幂为正，圆内为负，圆上则为0。

而对于一条直线，我们利用向量外积，可以求圆心(a,b)到直线的距离，再和半径进行比较，就可以知道直线和圆相交，相切，还是相离。

也可以选择将直线方程和圆方程联立，求二次方程是否有解，无解就是相离，有重根就是相切，有两个不同的根就是相交，解的结果就是切点或交点位置。

如果是过圆上一点(c,d)作切线，我们知道圆心到这点的向量为(c-a,d-b)，这和直线的方向向量垂直，从而得到直线的点向式方程：

如果是过圆外一点(c,d)作两条切线，那么假设直线的方向向量(l,m)，通过外积计算圆心到直线的距离：

根据二次方程解出两个方向向量，即得到两条切线。

两圆关系

对于两个圆，我们计算圆心之间的距离l，再和两个圆的半径R和r比较。

如果距离比R+r还大，那么两圆相离，有4条公切线。

如果l=R+r，两圆外切，有3条公切线。

如果l小于R+r，但又大于R-r，两圆相交，有2条公切线。

如果l等于R-r，两圆内切，有1条公切线。

如果l小于R-r，则小圆在大圆内部，没有公切线。

特别地，如果两个圆相交，它们之间会有一条公共弦，如图：

这时候，我们考虑BD两点和两个圆的方程：

说明BD两点都在下面这条直线上：

而两点确定一条直线，所以这条直线就是公共弦所在直线，也被叫做根轴。

有定理，根轴上的点到两圆的圆幂相同。

练习：证明这个定理。

探索：当两圆不相交时，根轴方程代表什么意义？

同理我们还可以得到和两圆同根轴的一系列圆方程：

探索：根轴还有哪些性质和定理？