2023.07.10 虽说目前已经有频谱效率更高的叠加导频设计，但是这篇论文堪称OTFS嵌入式导频的经典之作，经常被其他论文引用，左思右想觉得还是有必要重新阅读并记录学习过程。（注：关于MIMO的部分暂未深入）。

【OTFS与信号处理：论文阅读】Embedded Pilot-Aided Channel Estimation for OTFS in Delay–Doppler Channel

一、前言
- 1.1 写在前面
- 1.2 中心思想
- 1.3 INTRODUCTION
二、系统模型
- 2.1 基本OTFS概念/符号
- 2.2 OTFS输入输出分析（重头戏来了！）
- - case1：整数多普勒频移
  - case2：分数多普勒频移
三、嵌入式信道估计（SISO）
- case1：整数多普勒频移
- - 1. 导频方案设计
  - 2. 基于阈值信道估计
  - 3. 信号检测
- case2：分数多普勒频移
- - ⭐全保护符号
  - - 1. 导频结构设计
    - 2. 基于阈值信道估计
  - ⭐部分保护符号
  - - 1. 导频结构设计
    - 2. 基于阈值信道估计
- case3：矩形波形下的OTFS
四、仿真结果
- 4.1 参数设置
- 4.2 实验设计
- - 4.2.1 整数多普勒
  - 4.2.2 分数多普勒
  - 4.2.3 低时延通信
五、总结
参考文献

一、前言

1.1 写在前面

论文题目：Embedded Pilot-Aided Channel Estimation for OTFS in Delay–Doppler Channels
论文来源：IEEE TRANSACTIONS ON VEHICULAR TECHNOLOGY, VOL. 68, NO. 5, MAY 2019
论文链接：https://ieeexplore.ieee.org/document/8671740
写在前面：起初拿到这篇论文，主要想要解决两个问题：
1. 从整数扩展到分数多普勒（特别针对论文中使用的阈值估计法而言）做了哪些相应的改进与调整？
2. 不同条件下（整数/分数多普勒以及不同导频结构下）信道估计与检测的表达式分别有何不同？其不同之处所对应的原因是什么？

1.2 中心思想

该论文提出了OTFS嵌入式导频辅助的信道估计方法。简单来看，大致有三个核心工作点：
a. 提出一个新的导频结构（嵌入式导频）。
b. 在接收端采用基于阈值方法实现信道估计。
c. 在b得到信道估计的基础上，引入消息传递算法实现信号检测。最后作者将所提出的方案扩展到了MIMO以及多用户上/下行链路场景。

1.3 INTRODUCTION

这里简要概括下该论文第一部分的基本内容：首先引入OFDM并简要介绍其不足（搞多普勒场景下不再具有鲁棒性并产生严重的性能下降），接着引入OTFS来解决这一问题。之后，介绍了OTFS的研究现状（OTFS信道估计、MIMO等）以及OTFS的调制/解调过程。最后，总结了本文的贡献点以及论文的基本结构。

二、系统模型

系统模型方面最精彩的地方在于，作者分别建立了整数和分数多普勒下OTFS的输入输出输出关系，可以帮助我们理解将问题扩展到分数多普勒后，在系统模型方面会产生哪些不同。在讲述之前，先确定几个容易混淆的符号：
x[k,l] 时延−多普勒域信号，X[n,m] 时间−频率域信号，s(t) 时域发送信号，r(t) 通过信道后时域接收信号，h(τ,ν) 复基带信道脉冲响应。

2.1 基本OTFS概念/符号

首先在时域和频域轴上以T和∆f为间隔进行采样将问题离散化，从而时频域平面被打散成M×N的格点。对其作SFFT变换从而得到了分辨率为时延-多普勒平面上M×N的格点，M∆f其中为带宽，NT为整个数据包的持续时间：

OTFS调制/解调：这一部分没有太多公式推导，可以用一个框图来概括。

2.2 OTFS输入输出分析（重头戏来了！）

时延-多普勒域信道：由于时延-多普勒域信道具有稀疏性（这也是OTFS的优势之一，见下图）

因此在时延-多普勒域仅需要少量参数就可以建立出信道模型，信道的稀疏表示为：
$\mathrm{h}\big(\tau,\nu\big)=\sum_{i=1}^{P}\mathrm{h}_{i}\delta\big(\tau-\tau_{i}\big)\delta\big(\nu-\nu_{i}\big)\tag{1}$
其中P为传播路径数， $h_i 、τ_i 、ν_i$ 为第 $i$ 条路径的复增益、时延和多普勒频移， $l_{τ_i}$ 和 $k_{ν_i}$ 进一步将表示为时延和多普勒抽头的形式，即： $\tau_{i}=\frac{l_{\tau_{i}}}{M\Delta f},\nu_{i}=\frac{k_{\nu_{i}}+\kappa_{\nu_{i}}}{NT}$ ， $−1/2<\kappa_{v_i}≤1/2$ 表示分数多普勒，其实就是在最近多普勒抽头 $k_{ν_i}$ 的基础上产生的偏移。目前认为发送和接收脉冲 $g_{tx} (t)$ 与 $g_{rx} (t)$ 是理想的，即波形满足双正交性。接下来分别讨论整数和分数多普勒两种情况下的输入输出关系：

case1：整数多普勒频移

从时延-多普勒域来看，信号的输入输出关系为：
$y[k,l]=\sum_{k'=-k_v}^{k_v}\sum_{l'=0}^{l_{\tau}}b[k^{\prime},l^{\prime}]h[k^{\prime},l^{\prime}]x[[k-k^{\prime}]_{N}[l-l^{\prime}]_{M}]+\nu[k,l]\tag{2}$
其中， $b[k^{\prime},l^{\prime}]$ 可以看作路径指示器， $b[k^{\prime},l^{\prime}]=1$ 表明，有一条多普勒抽头为 $k^{'}$ 时延抽头为 $l^{'}$ 的路径，否则，就认为不存在这样的路径即 $b[k^{\prime},l^{\prime}]=h[k^{\prime},l^{\prime}]=0$ ； $h[k^{\prime},l^{\prime}]$ 为第 $(k^{'}, l^{'})$ 条路径所对应的幅度值；总路径数为时延与多普勒两个维度路径指示器数量的总和，即：
$\sum_{k^{\prime}=-k_{\nu}}^{k_{\nu}}\sum_{l^{\prime}=0}^{l_{\tau}}b[k^{\prime},l^{\prime}]=P\tag{3}$

case2：分数多普勒频移

类似地，分数多普勒下DD域的输入输出关系为：
${y[k,l]=\sum_{k^{\prime}=-k_{\nu}}^{k_{\nu}}\sum_{l^{\prime}=0}^{l_{v}}b[k^{\prime},l^{\prime}]\sum_{q=-N/2}^{N/_{2}-1}\overline{h}[k^{\prime},l^{\prime},k^{\prime},q]x[[k-k^{\prime}+q]_{N},[l-l^{\prime}]_{M}]+v[k,l]}\tag{4}$
其中，路径增益 $:\bar{h}[k^{\prime},l^{\prime},\kappa^{\prime},q]$ 为：
$\overline{\mathrm{h}}[k^{\prime},l^{\prime},\kappa^{\prime},q]=\left(\frac{e^{j\cdot2\pi(-q-\kappa^{\prime})}-1}{Ne^{j\frac{2\pi}N(-q-\kappa^{\prime})}-N}\right)\mathrm{h}[k^{\prime},l^{\prime}]e^{-j\cdot2\pi\frac{k^{\prime}+\kappa^{\prime}}{NT}\frac{l^{\prime}}{M\Delta f}}=\alpha\left(q,\kappa^{\prime}\right)\mathrm{h}[k^{\prime},l^{\prime}]e^{-j\cdot2\pi\frac{k^{\prime}+\kappa^{\prime}}{NT}\frac{l^{\prime}}{M\Delta f^{\prime}}}\tag{5}$ 从上述公式可以看出，在分数多普勒的作用下路径增益主要产生了两方面的影响：幅度由冲激响应近似为sinc函数，相位在整数多普勒的基础上进一步偏移产生IDI。其中令幅度的变化为 $|\alpha\left(q,\kappa^{\prime}\right)|$ ，该项可以看作是狄拉克sinc函数的等效抽样版本，其中q表示用于近似分数多普勒产生的多普勒间干扰所需要的额外抽头数量（简单理解为多普勒偏移量），图像为：

从图像可以看出，当多普勒的偏移量q为零时，取到最大抽样值，构造该图像的代码如下：

clc
clear
q = -10:1:10;
N = 128;
fra_1 = 0.1;
fra_2 = 0.5;
amp_alpha1 = abs((exp(1i*2*pi*(-q-fra_1))-1)./(N*exp(1i*2*pi/N*(-q-fra_1))-N)); %如果仅为“/”则无法表示成多个向量的形式而是一个数
amp_alpha2 = abs((exp(1i*2*pi*(-q-fra_2))-1)./(N*exp(1i*2*pi/N*(-q-fra_2))-N));
figure(3)
semilogy(q,amp_alpha1,'b-*','Linewidth',1);
xlabel('q','FontSize',12);
ylabel('|α(q,k)|','FontSize',12);
hold on
semilogy(q,amp_alpha2,'r-X','Linewidth',1);
grid on

三、嵌入式信道估计（SISO）

本节将会回答前言中提到的第二个问题“不同条件下（整数/分数多普勒以及不同导频结构下）信道估计与检测的表达式分别有何不同？其不同之处所对应的原因是什么？”

case1：整数多普勒频移

1. 导频方案设计

论文在导频方面设置了三种符号：导频信号 $x_p$ 、空白保护间隔、待发送的信号 $x_d$ ，其中，保护间隔的区域大小是由最大时延和最大多普勒决定的，排列方式如下式所示：
$x[k,l]=\begin{cases}&x_p&k=k_p,l=l_p,\\&0&k_p-2k_\nu\leq k\leq k_p+2k_\nu,\\&&l_p-l_\tau\leq l\leq l_p+l_\tau,\\&x_d[k,l]&\text{otherwise}.\end{cases}\tag{6}$

⎨

⎧xp0xd[k,l]k=kp,l=lp,kp−2kν≤k≤kp+2kν,lp−lτ≤l≤lp+lτ,otherwise.(6)
接着将接收到的符号分成两部分，分别用于信道估计与信号检测，用于信道估计的区域比保护间隔更小是因为导频符号的弥散值只可能在

k_v

与

l_\tau

的范围内。由于保护间隔是根据最大时延和多普勒设定的，因此可以保证数据符号与导频符号之间不会相互干扰：

2. 基于阈值信道估计

将用于信道估计的接收符号表示为（由于不存在分数多普勒且仅有一个导频符号因此不需要求和累加）：
$y[k,l]=b[k-k_{p},l-l_{p}]\hat{h}[k-k_{p},l-l_{p}]x_{p}+v[k,l]\tag{7}$ 基本思想：
若接收到的信号幅度高于门限时，即 $|y[k,l]|\geq\Gamma$ ，其中 $\Gamma$ 为正值检测门限，我们将认为路径指示项 $b[k-k_p,l-l_p]=1$ ，对应的路径幅值为： $\hat{h}[k-k_p,l-l_p]=y[k,l]/x_p$ 。反之，则认为 $b\big[k-k_{p},l-l_{p}\big]=\hat{h}\big[k-k_{p},l-l_{p}\big]=0$ 。因此可以得到类似下图的结果：

由于门限值的确定对于信道估计效果的准确程度密切相关，在后文论述中，门限值设定为 $3\sigma_{p}$ （其中， $\sigma_{p}=1/SNR_p=\sigma^2/|x_p|^2$ 表示导频信号的有效噪声功率），关于门限值如何取这一问题，论文是通过实验仿真得到的，图10展示了全保护间隔下分数多普勒不同信道估计门限值对于误码性能的影响：

3. 信号检测

在信道信息已知时，我们将用于检测的接收符号表示为式 $(8)$ ，并引入MP算法进行信号检测（算法细节未详述，感兴趣的同学可参考文献[1]）
$y[k\cdot l]=\sum_{k^{\prime}=-k_{V}}^{k_{V}}\sum_{l^{\prime}=0}^{l_{T}}b[k^{\prime}, l]\hat{h}[k^{\prime}, l]x\left[\left[k-k^{\prime}\right]_{N^{\prime}}\left[l-l^{\prime}\right]_{M}\right]+v[k,l]\tag{8}$

case2：分数多普勒频移

根据频谱效率的不同，分数多普勒频移下主要考虑了两种导频设计：全保护符号以及部分保护符号。

⭐全保护符号

1. 导频结构设计

由于分数多普勒的存在，论文在多普勒维度上设置了全保护符号，而在时延维度只设置了部分保护符号。与整数多普勒不同的是，为了保证用于信道估计和符号检测的信号之间没有干扰，保护间隔需要在多普勒维度上扩展到更大的范围（对比整数多普勒下导频设计方案）其排列如下图所示：

2. 基于阈值信道估计

用于信道估计的接收符号 $y [k, l]$ 为：
$y[k,l]=\sum_{k^{\prime}=-k_{v}}^{k_{v}}b\left[k^{\prime},l-l_{p}\right]\bar{h}\left[k^{\prime},l-l_{p},k^{\prime},\left[k_{p}+k^{\prime}-k\right]_{N}\right]x_{p}+v[k,l]\tag{9}$
其中，
$\begin{aligned}y[k,l]=\tilde{b}[l-l_p]\tilde{h}[[k-k_p]_N,l-l_p]x_p+v[k,l]\end{aligned}\tag{10}$
$\begin{aligned}\tilde{h}[[k-k_p]_N,l-l_p]&=\sum_{k'=-k_\nu}^{\kappa_\nu}b[k',l-l_p]\bar{h}[k',l-l_p,\kappa',[k_p+k'-k]_N]\end{aligned}\tag{11}$
可以将下式理解成：将由于分数多普勒弥散在多普勒的多个路径指示器求和（就是一个化零为整的过程）：
$\tilde{b}[l-l_p]=\begin{cases}1,&\sum_{k'=-k_\nu}^{k_\nu}b[k',l-l_p]\geq1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}\tag{12}$
对比式 $(4)$ 可以发现，少了关于 $l_{\tau}$ 项的求和，是因为论文未考虑分数时延的影响，在时延维度单独导频符号不存在弥散。
其基本思路与整数多普勒是一样的，尝试分析一下抽头指示器 $b = 1$ 时，分数与整数多普勒的不同之处：整数多普勒下，我们估计在给定的时延、多普勒抽头下是否存在单独的路径；而此时我们估计给定时延抽头下是否存在至少一条路径（结合前面化零为整的思想）。

⭐部分保护符号

1. 导频结构设计

为了进一步提升频谱效率，尝试在多普勒维度上减少保护间隔的数量（其中， $\hat{k}$ 表示用来衡多普勒该维度上保护间隔减少程度的参数），于是产生了下图的导频结构设计：

2. 基于阈值信道估计

用于信道估计的接收符号 $y [k, l]$ 为（与式 $(9)$ 不同的是增加了干扰项 $\mathcal{L}[k,l]$ ）：
$y[k\cdot l]=\sum_{k^{\prime}=-k_{\nu}}^{k_{\nu}}b\left[k^{\prime},l-l_{p}\right]\bar{h}\left[k^{\prime},l-l_{p},k^{\prime},\left[k_{p}+k^{\prime}-k\right]_{N}\right]x_{p}+u[k, l]+\color{red}{\mathcal{L}[k,l}]\tag{10}$
其中， $\mathcal{L}[k,l]$ 为来自周围数据符号 $x_d$ 的干扰，将其具体表示为：
$\mathcal{L}[k,l]=\sum_{k^{\prime}=-k_{\nu}}^{k_{\nu}}\sum_{l^{\prime}=0}^{l_{\pi}}b[k^{\prime},l^{\prime}]\sum_{q\not\in\left[k_{p}-2k_{\nu}-2\widehat{k},k_{p}+2k_{\nu}+2\widehat{k}\right]]}\bar{h}[k^{\prime}, l^{\prime},x^{\prime},q]x_{\mu}\left[[k-k^{\prime}+q]_{N},[l-l^{\prime}]_{M}\right]\tag{11}$

,kp+2kν+2k

]]∑hˉ[k′,l′,x′,q]xμ[[k−k′+q]N,[l−l′]M](11)

q\notin\left[k_{p}-2k_{V}-2\widehat{k},k_{P}+2k_{V}+2\hat{k}\right]

说明干扰来自空白保护间隔外的信号点，当多普勒维度保护间隔减小即

\hat{k}

较小时，符号间的干扰会增大故

\mathcal{L}[k,l]

增加。上述干扰类似于全保护符号信号检测时，导频符号对接收到的符号产生的干扰。

case3：矩形波形下的OTFS

目前为止，认为发送和接收脉冲波形都是理想的，即满足双正交性，然而实际场景中是不存在的，因此接下来我们将研究发送和接收波形都是矩形波时，OTFS的输入输出关系。整数多普勒场景下，矩形脉冲输入输出符号的表达式在之前的基础上增加了相移，可以重写为：
$y[k,l]=\sum_{k^{\prime}=-k_{\nu}}^{k_{\nu}}\sum_{l^{\prime}=0}^{l_{\pi}}b[k^{\prime},l^{\prime}]\hat{h}[k^{\prime},l^{\prime}]\beta[k,l]x\left[\left[k-k^{\prime}\right]_{N^{\prime}}\left[l-l^{\prime}\right]_{M}\right]+v[k,l]\tag{12}$
其中多产生的相移可以表达成：
$\mathcal{\beta}[k,l]=\begin{cases}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi\left(\frac{1-1^{\prime}}{M}\right)\frac{k^{\prime}}{N}}&\mathrm{l'\le l<M}\\\frac{\mathrm{N}-1}{\mathrm{N}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi\left(\frac{1-1^{\prime}}{M}\right)\frac{k^{\prime}}{N}}\mathrm{e}^{-j2\pi\left(\frac{[k-k^{\prime}]_{N}}{N}\right)}&\mathrm{0\le l<l'}.\end{cases}\tag{13}$

⎨

⎧ej2π(M1−1′)Nk′NN−1ej2π(M1−1′)Nk′e−j2π(N[k−k′]N)l′≤l<M0≤l<l′.(13)
由于这部分相移是已知的，因此可以直接使用论文前面提到的阈值信道估计与符号检测方法。

四、仿真结果

4.1 参数设置

载波频率	子载波间隔	调制方式	信道模型	尺寸
4GHz	15KHz	4-QAM	EVA[2]Jakes	M=512,N=128

4.2 实验设计

实验方面，论文主要在整数/分数多普勒场景下分别实验：

4.2.1 整数多普勒

1. 导频功率
图6比较了整数多普勒下不同导频功率对于误码性能的影响，设计最大时延抽头 $l\tau$ 为20，最大多普勒抽头 $k_v$ 为4（对应最大速度为120Kmph）从图像可以看出，当导频信噪比为40dB时，其误码性能可以近似得到理想情况（此外，也可以看出导频的功率与信号功率相比是更大一些的；在后续的实验中作者也特别标明了所设置的导频功率值，这样做是有必要的）。

此外，由于ISFFT变换使得OTFS在整个时-频平面上传播每个时延-多普勒域符号，而OFDM的FFT操作主要在时域展开而非频域，因此OTFS与OFDM相比具有更低的MPAPR（约为4dB）导频信噪比为18dB时，OTFS MPAPR的具体结果如下表所示（这段文字为论文原文翻译，由于公式推导部分有所欠缺，个人并没有特别理解）：

2. 移动速度
图7分别考虑了30/120/500Kmph不同移动速度下（对应最大多普勒抽头 $k_v$ 为1/4/16）OTFS的误码性能，需要注意的是不同速度下的信道开销是不同的（参考下表）。从仿真结果可以看出，在不同多普勒频率下OTFS展示出几乎相同的误码性能。

3.阈值
关于阈值比较的实验前文已做出补充，通过仿真找到了最优阈值 $\Gamma=3\sigma_{p}$ ，并在论文所有实验中都选取该值作为为准。

4.2.2 分数多普勒

在考虑分数多普勒下论文也设计了与前面类似的实验，图9、图10分别比较了全保护符号下不同导频功率、不同阈值以及不同移动速度对于误码性能的影响，其结论与前面类似这里就不再展开。这里特别介绍一下，图11比较了部分保护间隔下多普勒维度上保护间隔的覆盖范围（用参数 $\hat{h}$ 来衡量），以及窗函数对于误码性能的影响。

从仿真结果可以看出，误码性能会随着 $\hat{h}$ 的增加而有所提升， $\hat{h}$ =5时的误码性能与全保护符号的情况几乎持平（这一结论对于提高频谱效率是有意义的），因此我们需要考虑频谱效率与误码性能之间如何tradeoff(平衡)。此外，在窗函数方面由于prolate窗会引起噪声相关性，矩形窗具有更优的误码性能。

4.2.3 低时延通信

在未来无线通信中对于低时延通信有着迫切的需求，论文在低时延场景下（即降低M和N的大小）设计仿真实验。

从仿真结果可以看出，论文设计的信道估计方案在低时延场景下具有有效性。

五、总结

论文主要讲了整数/分数多普勒下的导频方案设计并推导了各自的接收信号表达式，根据频谱效率的不同，在多普勒维度上设计了全符号保护和部分符号保护两种导频方案。通过比较整数/分数多普勒的接收信号表达式，并思索为什么在这些地方需要特别考虑，可以有效帮助我们进一步理解分数多普勒的基本特性。关于如何去除或者设计对应的接收方法来规避干扰项 $\mathcal{L}$ 并没有展开详细的论述（也许是我看的不够仔细）。总而言之，这篇论文非常值得仔细阅读和学习，建议大家辅助原文学习效果更好。

参考文献

[1] P. Raviteja, K. T. Phan, Q. Jin, Y. Hong, and E. Viterbo, “Low-complexity iterative detection for orthogonal time frequency space modulation,” in Proc. IEEE WCNC, Barcelona, Spain, Apr. 2018, pp. 1–6.
[2] “LTE; “Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); Base Station (BS) radio transmission and reception,” 3GPP TS 36.104 version 8.6. 0 Release 8, Jul. 2009,” ETSI TS.

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1. 导频结构设计

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