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题意：树链剖分模板题　（树链剖分＋线段树）

准备工作:

第一步: 定义声明

// 链式前向星存图 (**** 记得开２倍空间　****)
struct EDGE
{int to;int next;
}edge[MAXX<<1];// 线段树结构体,存和、lazy标记　(**** 记得开４倍空间 ****)
struct NODE
{int mark;int sum;
}no[MAXX << 2];int head[MAXX<<1],a[MAXX]; int pre[MAXX],deep[MAXX],sz[MAXX],son[MAXX];int top[MAXX],id[MAXX],rk[MAXX];
// 以上是用到的数组,下面代码中有解释// 加边
void add(int be,int en,int i)
{edge[i].to = en;edge[i].next = head[be];head[be] = i;
}

第二步: DFS1(int u,int fa,int dp)

u代表当前结点

fa代表当前节点的父亲节点

dp代表当前节点的深度

需要完成的工作：

标记每个点的深度 deep[]
标记每个点的父亲 pre[]
标记每个非叶子节点的子树大小(含它自己) sz[]
标记每个非叶子节点的重儿子 son[]

void DFS1(int u,int fa,int dp)
{pre[u] = fa;  　// 父亲节点deep[u] = dp;　 // 深度sz[u] = 1;     // 每个结点的子树大小起初都为1,包括自己int maxx = -1;for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){int v = edge[i].to;  // 与u相连边的终点if(v == fa)　　　　　　// 这里需要判断一下,因为一开始是从 fa - u 过来的continue;DFS1(v,u,dp+1);　　　 // u的子树是v，是遍历v，同时ｖ的深度在ｕ的基础上加１sz[u] += sz[v];　　　 // u的子树大小要加上其孩子节点的子树大小if(sz[v] > maxx){　　// 找出重儿子maxx = sz[v];son[u] = v;}}
}

第三步: DFS2(int u,int tp)

u代表当前结点

tp代表当前结点所在链的顶端结点

需要完成的工作：

标记每个点的新编号 id[]
记录当前标号在树中对应的结点 rk[]
处理每个点所在链的顶端 top[]
处理每条链

顺序：先处理重儿子再处理轻儿子

// 按先重链后轻链的顺序处理树，赋上新编号
void DFS2(int u,int tp)
{top[u] = tp;  // 赋值顶端结点id[u] = cnt;　// 当前节点的新编号为 cntrk[cnt++] = u;　// 编号cnt对应的结点为ｕif(!son[u])　　// 没有儿子就返回return ;DFS2(son[u],tp);　　// 先搜索重儿子for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){int v = edge[i].to;if(v == pre[u] || v == son[u])continue;DFS2(v,v);　// 轻儿子}
}

第四步: Build(1,n,1)

区间 [1,n] ,起始编号 n

// 线段树区间更新的建树过程void Build(int l,int r,int i)
{if(l == r){no[i].sum = a[rk[l]]%mod;　// 记录和no[i].mark = 0;　　　　　　　// lazy 标记return ;}int mid = (l+r) >> 1;Build(l,mid,i<<1);Build(mid+1,r,i<<1|1);PushUp(i);　　　　// 随时更新该点信息
}

操作过程:

1 x y z:　对 [x,y] 加z

用到树链剖分,可以利用 top[] 来加快的确定 x y 在线段树中的下标

设所在链顶端 (top[x]) 的深度 (deep[top[x]]) 更深的那个点为x点

ans加上 x点到x所在链顶端 (id[top[x]] - id[x] ) 这一段区间的点权和

把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点

不停执行这两个步骤，直到两个点处于一条链上，这时再加上此时两个点的区间和即可

这时我们注意到，我们所要处理的所有区间均为连续编号(新编号)，于是想到线段树，用线段树处理连续编号区间和

// 线段树的更新操作
void Update(int l,int r,int i,int ll,int rr,int w)
{if(ll <= l && r <= rr){no[i].mark = (no[i].mark%mod + w%mod)%mod;no[i].sum = (no[i].sum%mod + (w%mod*((r-l+1)%mod)%mod))%mod;return ;}int mid = (l+r) >> 1;PushDown(i,mid-l+1,r-mid);　 // 下放延迟标记if(ll <= mid)Update(l,mid,i<<1,ll,rr,w);if(rr > mid)Update(mid+1,r,i<<1|1,ll,rr,w);PushUp(i);　　// 更新该点信息
}void Rupdate(int x,int y,int w)
{while(top[x] != top[y]){  　　 // 如果两个不是在同一条链上int dp1 = deep[top[x]];　　// 求两个顶端链的深度int dp2 = deep[top[y]];// 　△if(dp1 >= dp2){　 // 如果x的顶端链的深度更大，则求 [x,top[x] ] 这一段区间的和Update(1,n,1,id[top[x]],id[x],w);　// id[top[x]] < id[x]x = pre[top[x]];              // x跳到顶端链的父亲节点处} else {　　　// 如果ｙ的顶端链深度更大，进行类似的操作Update(1,n,1,id[top[y]],id[y],w);y = pre[top[y]];}}// 虽然两个位于同一条链,但不一定是同一个点,还需要加上这一段区间的和// 区间从编号小的开始if(id[x] <= id[y])Update(1,n,1,id[x],id[y],w);elseUpdate(1,n,1,id[y],id[x],w);
}/*
if(num == 1) Rupdate(be,en,c);
*/

例如：

如果我们要处理从节点6到节点5的操作，会发现节点5所在链的顶端正好与节点6所在链的中间相连。

如果我们不加上△处，很可能就会跳到其它无关紧要的节点上，并且陷入死循环

△处，这句话就是为了处理当x,y跳到了同一条链上的时候该如何处理

①:　Update 5这一点( id[top[5]] = 5, id[5] = 5,top[5] = 5),　５跳到结点２处

②：发现在同一条链上，处理[2,6] 之间

2 x y : 输出 x 到 y 路径上的和

原理与区间修改类似

// 线段树的区间查询int Query(int l,int r,int i,int ll,int rr)
{int flag = 0;int ans = 0;if(ll <= l && r <= rr){return no[i].sum%mod;}int mid = (l+r) >> 1;PushDown(i,mid-l+1,r-mid);　if(ll <= mid){flag = Query(l,mid,i<<1,ll,rr);　// 本题需要取模ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;}if(rr > mid){flag = Query(mid+1,r,i<<1|1,ll,rr);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;}ans %= mod;if(ans < 0) ans += mod;return ans;}// 确定 x,y的下表
int Rquery(int x,int y)
{int ans = 0;int flag = 0;// 以下过程与区间更新类似while(top[x] != top[y]){int dp1 = deep[top[x]];int dp2 = deep[top[y]];if(dp1 >= dp2){flag = Query(1,n,1,id[top[x]],id[x]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;x = pre[top[x]];} else {flag = Query(1,n,1,id[top[y]],id[y]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;y = pre[top[y]];}}flag = 0;if(id[x] <= id[y]){flag = Query(1,n,1,id[x],id[y]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;} else{flag = Query(1,n,1,id[y],id[x]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;}return ans;
}

3 x z : 以 x 为根节点的子树都加上 z

我们可以知道ｘ的下标,ｘ的所有子树大小为 sz[x]

在 DFS2 中，每个子树的新编号都是连续的，可以直接用线段树查询

则我们可以确定查询的区间 [ id[x] , id[x] + sz[x] - 1 ]

Update(1,n,1,id[be],id[be]+sz[be]-1,c);

4 x : 输出以ｘ为根节点的所有子树和

原理类似于上一部分

Query(1,n,1,id[be],id[be]+sz[be]-1);

完整代码：

题目链接题意：树链剖分模板题　（树链剖分＋线段树）// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define memset(a,n) memset(a,n,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXX = 1e5+10;
int mod,cnt,n;struct EDGE
{int to;int next;
}edge[MAXX<<1];
struct NODE
{int mark;int sum;
}no[MAXX << 2];
int head[MAXX<<1],a[MAXX];
int pre[MAXX],deep[MAXX],sz[MAXX],son[MAXX];
int top[MAXX],id[MAXX],rk[MAXX];void add(int be,int en,int i)
{edge[i].to = en;edge[i].next = head[be];head[be] = i;
}void PushUp(int i)
{no[i].sum =  (no[i<<1].sum%mod + no[i<<1|1].sum%mod)%mod;if(no[i].sum < 0) no[i].sum += mod;
}
void PushDown(int i,int llen,int rlen)
{if(no[i].mark){no[i<<1].mark = (no[i].mark%mod + no[i<<1].mark%mod)%mod;no[i<<1|1].mark = (no[i].mark%mod + no[i<<1|1].mark%mod)%mod;no[i<<1].sum = ((no[i].mark*llen)%mod + no[i<<1].sum%mod)%mod;no[i<<1|1].sum = ((no[i].mark*rlen)%mod + no[i<<1|1].sum%mod)%mod;no[i].mark = 0;}
}
void Build(int l,int r,int i)
{if(l == r){no[i].sum = a[rk[l]]%mod;no[i].mark = 0;return ;}int mid = (l+r) >> 1;Build(l,mid,i<<1);Build(mid+1,r,i<<1|1);PushUp(i);
}
void Update(int l,int r,int i,int ll,int rr,int w)
{if(ll <= l && r <= rr){no[i].mark = (no[i].mark%mod + w%mod)%mod;no[i].sum = (no[i].sum%mod + (w%mod*((r-l+1)%mod)%mod))%mod;return ;}int mid = (l+r) >> 1;PushDown(i,mid-l+1,r-mid);if(ll <= mid)Update(l,mid,i<<1,ll,rr,w);if(rr > mid)Update(mid+1,r,i<<1|1,ll,rr,w);PushUp(i);
}
int Query(int l,int r,int i,int ll,int rr)
{int flag = 0;int ans = 0;if(ll <= l && r <= rr){return no[i].sum%mod;}int mid = (l+r) >> 1;PushDown(i,mid-l+1,r-mid);if(ll <= mid){flag = Query(l,mid,i<<1,ll,rr);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;}if(rr > mid){flag = Query(mid+1,r,i<<1|1,ll,rr);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;}ans %= mod;if(ans < 0) ans += mod;return ans;}
void DFS1(int u,int fa,int dp)
{pre[u] = fa;deep[u] = dp;sz[u] = 1;int maxx = -1;for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){int v = edge[i].to;if(v == fa)continue;DFS1(v,u,dp+1);sz[u] += sz[v];if(sz[v] > maxx){maxx = sz[v];son[u] = v;}}
}void DFS2(int u,int tp)
{top[u] = tp;id[u] = cnt;rk[cnt++] = u;if(!son[u])return ;DFS2(son[u],tp);for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){int v = edge[i].to;if(v == pre[u] || v == son[u])continue;DFS2(v,v);}
}
void Rupdate(int x,int y,int w)
{while(top[x] != top[y]){int dp1 = deep[top[x]];int dp2 = deep[top[y]];if(dp1 >= dp2){Update(1,n,1,id[top[x]],id[x],w);x = pre[top[x]];} else {Update(1,n,1,id[top[y]],id[y],w);y = pre[top[y]];}}if(id[x] <= id[y])Update(1,n,1,id[x],id[y],w);elseUpdate(1,n,1,id[y],id[x],w);
}
int Rquery(int x,int y)
{int ans = 0;int flag = 0;while(top[x] != top[y]){int dp1 = deep[top[x]];int dp2 = deep[top[y]];if(dp1 >= dp2){flag = Query(1,n,1,id[top[x]],id[x]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;x = pre[top[x]];} else {flag = Query(1,n,1,id[top[y]],id[y]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;y = pre[top[y]];}}flag = 0;if(id[x] <= id[y]){flag = Query(1,n,1,id[x],id[y]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;} else{flag = Query(1,n,1,id[y],id[x]);ans = (ans%mod + flag%mod)%mod;if(ans < 0) ans += mod;}return ans;
}
int main()
{int m,root,be,en,c;memset(head,-1);memset(son,0);cin >> n >> m >> root >> mod;for(int i=1; i<=n; i++)cin >> a[i];int num = 1;for(int i=1; i<n; i++){cin >> be >> en;add(be,en,num++);add(en,be,num++);}cnt = 1;DFS1(root,0,1);DFS2(root,root);Build(1,n,1);num = 0;int ans;while(m--){ans = 0;cin >> num;if(num == 1){cin >> be >> en >> c;c %= mod;Rupdate(be,en,c);} else if(num == 2){cin >> be >> en;c %= mod;ans = Rquery(be,en);ans %= mod;if(ans < 0) ans += mod;cout << ans << endl;} else if(num == 3){cin >> be >> c;Update(1,n,1,id[be],id[be]+sz[be]-1,c);} else {cin >> be;ans = Query(1,n,1,id[be],id[be]+sz[be]-1);ans %= mod;if(ans < 0) ans += mod;cout << ans << endl;}}
}

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准备工作:

第一步: 定义声明

第二步: DFS1(int u,int fa,int dp)

第三步: DFS2(int u,int tp)

第四步: Build(1,n,1)

操作过程:

1 x y z:　对 [x,y] 加z

用到树链剖分,可以利用 top[] 来加快的确定 x y 在线段树中的下标

2 x y : 输出 x 到 y 路径上的和

3 x z : 以 x 为根节点的子树都加上 z

4 x : 输出以ｘ为根节点的所有子树和

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1 x y z: 对 [x,y] 加z

用到树链剖分,可以利用 top[] 来加快的确定 x y 在线段树中的下标

2 x y : 输出 x 到 y 路径上的和

3 x z : 以 x 为根节点的子树都加上 z

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