状态空间模型中参数的贝叶斯估计

(参数估计所有内容)

对于模型中的未知参数 θ∈Rd\bm{\mathbb{\theta \in R^d}}θ∈Rd，贝叶斯方法通常将其建模为先验分布已知的随机变量，且其先验分布表示为 p(θ)\bm{p(\theta)}p(θ)。参数全部已知时，系统状态空间模型可表示为:
可由贝叶斯公式直接计算当前时刻的完全先验分布，计算式为：
式中，相关分布的计算式为：

若只需要估计参数向量 θ\bm{\theta}θ，贝叶斯方法通常对该状态量求积分，得到参数的边缘后验分布：
但是这个公式的计算维度过大，尤其是在获取的量测量之后。

边缘后验分布的表达式为：
该式子直接给出了计算上述分布的递归算法。在计算过程中，通常可以假设先验分布 p(θ)\bm{p(\theta)}p(θ)，故其获取并不苦难。难点在于边缘似然分布 p(y1:T∣θ)\bm{p(y_{1:T}|\theta)}p(y1:T∣θ) 的计算。

可对边缘似然分布进行状态分解，进而可以进行递归计算：
上式所涉及的累乘因式表达式为：
式中，p(yk∣xk,θ),p(xk∣y1:k−1,θ)\bm{p(y_k|x_k,\theta), p(x_k|y_{1:k-1},\theta)}p(yk∣xk,θ),p(xk∣y1:k−1,θ) 分别为量测模型和预测分布，二者的表达式为：

在参数估计中，通常还呦另一种更为方便的计算方法，
即：非归一化负对数后验分布或能量函，来代替边缘似然估计概率或边缘后验分布。

能量函数：
且有：

能量函数的递归形式：
1). 计算
2). 对每一步 k=1,2,⋅⋅⋅,T\bm{k=1,2,\cdot\cdot\cdot,T}k=1,2,⋅⋅⋅,T，计算：

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